Ich schreibe zur Zeit meine Masterthesis und habe ein Problem mit dem Umstellen einer Formel. Es handelt sich dabei um die Lichtbrechung an einer Linse. Ziel hierbei ist es den Krümmungsradius (r) bei gegebenem Streuwinkel ([latex]\beta[/latex]), Brechzahl (n) und Linsenbreite (b) zu berechnen. Dies allerdings nur als Hintergrundinformation.
Primär soll einfach die Formel wie gesagt nach r umgestellt werden. Die Formel sieht zunächst einfach aus, nach Umformen mit Hilfe der Additionstheoreme für arcsin komme ich allerdings an meine persönlichen mathematischen Grenzen.
Es handelt sich um nachfolgende Formel, die nach r umzustellen ist:
$$\beta \quad =\quad arcsin\left( \frac { n\quad x }{ 2\quad r } \right) \quad -\quad arcsin\quad \left( \frac { b }{ 2\quad r } \right)$$
Erster Lösungsansatz:
Substitution mit
$$x = \frac{b}{2 r}$$
ergibt:
$$\beta = arcsin(n x) - arcsin(x)$$
Das Anwenden des Additionstheorems für Arkusfunktionen
$$arcsin x - arcsin y = arcsin(x \sqrt{1-y^{2}} - y \sqrt{1 - x^{2}})$$
ergibt folgende Gleichung:
$$\beta = arcsin(n x \sqrt{1-x^{2}} - x \sqrt{1-n x^{2}})$$
