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Hi,

ich schreibe zur Zeit meine Masterthesis und habe ein Problem mit dem Umstellen einer Formel. Es handelt sich dabei um die Lichtbrechung an einer Linse. Ziel hierbei ist es den Krümmungsradius (r) bei gegebenem Streuwinkel ([latex]\beta[/latex]), Brechzahl (n) und Linsenbreite (b) zu berechnen. Dies allerdings nur als kleine Hintergrundinformation. Primär soll einfach die Formel wie gesagt nach r umgestellt werden. Die Formel sieht zunächst einfach aus, nach Umformen mit Hilfe der Additionstheoreme für arcsin komme ich allerdings an meine persönlichen mathematischen Grenzen. Ich bin absolut neu hier im Forum und hoffe, dass mir einer helfen kann.

 

Es handelt sich um nachfolgende Formel, die nach r umzustellen ist:

$$\beta \quad =\quad arcsin\left( \frac { n\quad x }{ 2\quad r }  \right) \quad -\quad arcsin\quad \left( \frac { b }{ 2\quad r }  \right)$$

 

Erster Lösungsansatz:

 

Substitution mit

[latex]

$$x = \frac{b}{2 r}$$

[/latex]

eribt:

[latex]

$$\beta = arcsin(n x) - arcsin(x)$$

[/latex]

Das Anwenden des Additionstheorems für Arkusfunktionen

[latex]

$$arcsin x - arcsin y = arcsin(x \sqrt{1-y^{2}} - y \sqrt{1 - x^{2}})$$

[/latex]


ergibt folgende Gleichung:

[latex]

$$\beta = arcsin(n  x \sqrt{1-x^{2}} - x \sqrt{1-n x^{2}})$$

[/latex]


Vielen Dank,

Andreas

von
Ich befürchte, dass du da nicht viel Schlaues machen kannst mit den dir bekannten Formeln.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=arcsin%28nx%2F%282x%29%29+-+arcsin%28b%2F%282x%29%29+%3D+B

WolframAlpha benutzt da Funktionen, die extra zur Lösung von solchen Gleichungen geschaffen wurden.  Klicke dich mal durch die Links in den Rechnungen von WolframAlpha.
Ich verstehe von der Formel leider nichts. Ist x = b/2r darfst du das natürlich dann so ersetzen. Das hat dann aber nichts mit Substitution zu tun.
bei z = x + 1 darf iuch ja auch nicht einfach x + 1 mit z substituieren weil z ja selber schon in der Gleichung vorkommt.

Und damit sieht das ganze bei Wolfram dann auch noch viel ungemütlicher aus

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+arcsin%28nx%2F%282r%29%29+-+arcsin%28b%2F%282r%29%29+%3D+a+for+r

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