Antwort mit KI erzeugt
Lösung:
Zu Beginn: Der gegebene Substitutionsschritt \(x = \frac{b}{2r}\) scheint inkorrekt zu sein, basierend auf der ursprünglichen Gleichung, da in der Ausgangsgleichung bereits \(b\) und \(r\) voneinander abhängig sind und so nicht nochmals substituiert werden sollten, zumindest nicht in dieser Form. Stattdessen fokussieren wir direkt auf die Umformung der gegebenen Gleichung
\(
\beta = \arcsin\left( \frac{n b}{2 r} \right) - \arcsin\left( \frac{b}{2 r} \right)
\)
Zur Vereinfachung und korrekten Herangehensweise gehen wir schrittweise vor und ignorieren zunächst den vorliegenen Substitutionsversuch. Um die Gleichung nach \(r\) umzustellen, betrachten wir folgende Schritte:
1.
Formel verwenden: Das Additionstheorem für Arkusfunktionen wie in der Frage vorgeschlagen, kann hier nicht direkt angewendet werden, da wir \(\beta\) als Differenz zweier Arkussinus Funktionen haben, aber die Gleichung nach \(r\) umgestellt werden soll, nicht um die Funktion selbst zu vereinfachen. In deiner Aufgabe scheint es primär um die Umstellung nach \(r\) zu gehen, daher wäre der direkte Weg, die Beziehung zwischen \(\beta\), \(b\), \(n\) und \(r\) zu nutzen.
2.
Lösung ohne die direkte Anwendung des gegebenen Additions-Theorems: Um \(r\) direkt zu ermitteln, sollen wir eigentlich die gegebene Gleichung direkt behandeln. Allerdings, wenn wir die Substitution oder Vereinfachung betrachten, sollten wir verstehen, dass die direkte Verwendung des Additionstheorems in deinem Kontext nicht zum Ziel führen könnte.
Die gegebene Gleichung ist
\(
\beta = \arcsin\left( \frac{n b}{2 r} \right) - \arcsin\left( \frac{b}{2 r} \right)
\)
Normalerweise, wenn wir nach \(r\) umstellen wollen, isolieren wir zuerst die Terme, die \(r\) enthalten. In diesem Fall haben wir zwei Terme mit \(\arcsin\), die beide \(r\) im Nenner enthalten. Um die Aufgabe korrekt zu lösen, müssen wir den Zusammenhang nutzen, den wir durch Umstellen direkt erhalten können. Jedoch ist aufgrund der Angabe eine direkte Anwendung von Standardumformungen unter Berücksichtigung des Sinusadditionstheorems problematisch für die Umstellung nach \(r\).
3.
Korrekte Herangehensweise: Um die Gleichung effektiv nach \(r\) aufzulösen, sollten wir auf Grundlagen zurückgreifen und eventuell über eine numerische Lösung nachdenken, da die Umformung in eine direkte, nach \(r\) aufgelöste Form, durch Standardalgebra kompliziert sein könnte.
4.
Rückführung zum Problem: Da die Gleichung zwei \(\arcsin\) Terme enthält und nach \(r\) umgestellt werden soll, wäre der zielführendste Ansatz, jeden Bogenmaßtermin separat zu betrachten und die ursprüngliche Gleichung nach einem Umstellungsschritt für ein direktes \(r\) auszurichten.
Daher, ohne die korrekte anwendbare mathematische Umstellung in diesem Kontext direkt zeigen zu können (da sie abhängig von spezifischen Vereinfachungen und möglicherweise Erweiterungen der Aufgabenstellung ist), empfiehlt sich für präzise Berechnungen und Umstellungen gegebenenfalls die Nutzung numerischer Algorithmen und Software, die speziell für solche Gleichungssysteme entworfen wurde.
