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Ein Stahltank mit dem Volumen 20 L wird bei 12 °C mit 19,5 L Benzin gefüllt. Bei wieviel °C läuft er über ?

Ausdehnungkoeffizient Benzin 0,00110  1/K

                     ""                  Stahl 0,0000119 1/K
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Ist das von Benzin der kubische Ausdehnungskoeffizient und von Stahl der lineare Ausdehnungskoeffizient?
Würde uns so gegeben aus dem Tabellenbuch, dort steht bei flüssigen Stoffen Volumenausdehnungskoeffizent und bei Festen stoffen Längenausdehnungskoeffizient.

2 Antworten

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Das Volumen V des Benzins bzw. des Tanks nach der Temperaturänderung kann mit folgender Formel berechnet werden:

V = V0 * (1 + γ * ΔT)

V0 ... Ursprüngliches Volumen, γ ... Volumen-Ausdehnungskoeffizient, ΔT ... Temperaturänderung

Zu beachten ist, dass für Benzin γ gegeben ist, für Stahl aber der Längen-Ausdehnungskoeffizient α und γ ≈ 3 * α ist.

Um zu ermitteln, bei welcher Temperatur T der Tank überläuft, werden beide Volumen gleich gesetzt, die Gleichung nach ΔT aufgelöst und die Ausgangstemperatur addiert, also:

19,5 l * (1 + 11 * 10-4 K-1 * ΔT) = 20 l * (1 + 3 * 11,9 * 10-6 K-1 * ΔT)

ΔT ≈ 24,11 °C

T = 24,11 °C + 12°C = 36,11°C

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Antwort mit KI erzeugt

Ausdehnung von Flüssigkeiten und Festkörpern

Die allgemeine Gleichung zur Berechnung der thermischen Ausdehnung von Stoffen lautet:

\( V = V_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T) \)

wobei:
- \(V\) das Endvolumen,
- \(V_0\) das Ausgangsvolumen,
- \(\alpha\) der lineare Ausdehnungskoeffizient (für Flüssigkeiten und Gase ist dies oft der Volumenausdehnungskoeffizient) und
- \(\Delta T\) die Temperaturänderung in Grad Celsius oder Kelvin.

Diese Formel müssen wir für sowohl Benzin als auch Stahl anwenden, um herauszufinden, bei welcher Temperatur der Tank überläuft.

Gegebene Werte:
- Volumen von Benzin \(V_{Benzin,0} = 19,5\) L
- Volumen des Tanks \(V_{Tank,0} = 20\) L
- Ausdehnungskoeffizient von Benzin \(\alpha_{Benzin} = 0,00110\) 1/K
- Ausdehnungskoeffizient von Stahl \(\alpha_{Stahl} = 0,0000119\) 1/K
- Anfangstemperatur \(T_0 = 12\) °C

Gesucht:
- Die Temperatur \(T\), bei der der Tank überläuft.

Lösung:

1. Formeln für beide Ausdehnungen aufstellen:

Für Benzin:
\( V_{Benzin} = V_{Benzin,0} \cdot (1 + \alpha_{Benzin} \cdot \Delta T) \)

Für den Stahltank:
\( V_{Tank} = V_{Tank,0} \cdot (1 + \alpha_{Stahl} \cdot \Delta T) \)

2. Überlaufbedingung festlegen:

Der Tank läuft über, wenn \(V_{Benzin} = V_{Tank}\).

Das setzen wir gleich:

\( V_{Benzin,0} \cdot (1 + \alpha_{Benzin} \cdot \Delta T) = V_{Tank,0} \cdot (1 + \alpha_{Stahl} \cdot \Delta T) \)

3. Nach \(\Delta T\) umformen:

\( 19,5 \cdot (1 + 0,00110 \cdot \Delta T) = 20 \cdot (1 + 0,0000119 \cdot \Delta T) \)

4. Gleichung vereinfachen:

\( 19,5 + 19,5 \cdot 0,00110 \cdot \Delta T = 20 + 20 \cdot 0,0000119 \cdot \Delta T \)

\( 19,5 + 0,02145 \cdot \Delta T = 20 + 0,000238 \cdot \Delta T \)

\(0,02145 \cdot \Delta T - 0,000238 \cdot \Delta T = 20 - 19,5\)

\( 0,021212 \cdot \Delta T = 0,5 \)

\( \Delta T = \frac{0,5}{0,021212} \)

\( \Delta T = 23,56 \text{ °C} \)

5. Endtemperatur berechnen:

Da die Ausgangstemperatur 12°C ist, berechnen wir die Endtemperatur als:

\( T = T_0 + \Delta T \)

\( T = 12 °C + 23,56 °C \)

\( T = 35,56 °C \)

Antwort: Der Tank läuft bei \(35,56\) °C über.
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