Antwort mit KI erzeugt
Ausdehnung von Flüssigkeiten und Festkörpern
Die allgemeine Gleichung zur Berechnung der thermischen Ausdehnung von Stoffen lautet:
\(
V = V_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T)
\)
wobei:
- \(V\) das Endvolumen,
- \(V_0\) das Ausgangsvolumen,
- \(\alpha\) der lineare Ausdehnungskoeffizient (für Flüssigkeiten und Gase ist dies oft der Volumenausdehnungskoeffizient) und
- \(\Delta T\) die Temperaturänderung in Grad Celsius oder Kelvin.
Diese Formel müssen wir für sowohl Benzin als auch Stahl anwenden, um herauszufinden, bei welcher Temperatur der Tank überläuft.
Gegebene Werte:
- Volumen von Benzin \(V_{Benzin,0} = 19,5\) L
- Volumen des Tanks \(V_{Tank,0} = 20\) L
- Ausdehnungskoeffizient von Benzin \(\alpha_{Benzin} = 0,00110\) 1/K
- Ausdehnungskoeffizient von Stahl \(\alpha_{Stahl} = 0,0000119\) 1/K
- Anfangstemperatur \(T_0 = 12\) °C
Gesucht:
- Die Temperatur \(T\), bei der der Tank überläuft.
Lösung:
1.
Formeln für beide Ausdehnungen aufstellen:
Für Benzin:
\(
V_{Benzin} = V_{Benzin,0} \cdot (1 + \alpha_{Benzin} \cdot \Delta T)
\)
Für den Stahltank:
\(
V_{Tank} = V_{Tank,0} \cdot (1 + \alpha_{Stahl} \cdot \Delta T)
\)
2.
Überlaufbedingung festlegen:
Der Tank läuft über, wenn \(V_{Benzin} = V_{Tank}\).
Das setzen wir gleich:
\(
V_{Benzin,0} \cdot (1 + \alpha_{Benzin} \cdot \Delta T) = V_{Tank,0} \cdot (1 + \alpha_{Stahl} \cdot \Delta T)
\)
3.
Nach \(\Delta T\) umformen:
\(
19,5 \cdot (1 + 0,00110 \cdot \Delta T) = 20 \cdot (1 + 0,0000119 \cdot \Delta T)
\)
4.
Gleichung vereinfachen:
\(
19,5 + 19,5 \cdot 0,00110 \cdot \Delta T = 20 + 20 \cdot 0,0000119 \cdot \Delta T
\)
\(
19,5 + 0,02145 \cdot \Delta T = 20 + 0,000238 \cdot \Delta T
\)
\(0,02145 \cdot \Delta T - 0,000238 \cdot \Delta T = 20 - 19,5\)
\(
0,021212 \cdot \Delta T = 0,5
\)
\(
\Delta T = \frac{0,5}{0,021212}
\)
\(
\Delta T = 23,56 \text{ °C}
\)
5.
Endtemperatur berechnen:
Da die Ausgangstemperatur 12°C ist, berechnen wir die Endtemperatur als:
\(
T = T_0 + \Delta T
\)
\(
T = 12 °C + 23,56 °C
\)
\(
T = 35,56 °C
\)
Antwort: Der Tank läuft bei \(35,56\) °C über.
