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Der mittlere Abstand eines Mondes zu seinem Planeten beträgt 3,8x10^6km, seine Umlaufzeit ist 2d 16h 25min. Berechnen Sie die Masse des Planeten.

Ich brauche das dringend bis morgen, Anregungen wären super!!

von

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Um den Mond der Massse \(m_{\mbox{Mond}}\) auf der (kreisförmigen) Umlaufbahn zu halten, muss die Zentrifugalbeschleunigung \(a=v^2/r\) betragen. Allgemein gilt \(F=m \cdot a\). Die Graviationskraft \(F\) hält ihn in der Bahn - man kann also schreiben

$$\frac{F}{m_{\mbox{Mond}}} = \frac{m_{\mbox{Mond}} \cdot m_{\mbox{Planet}}}{m_{\mbox{Mond}} \cdot r^2} \cdot G= \frac{v^2}{r}$$

$$\Rightarrow m_{\mbox{Planet}} = \frac{v^2 r}{G}$$

Ist die Umlaufzeit \(U\), so ist \(v=2\pi r/U\). Macht

$$\begin{align} m_{\mbox{Planet}} &= \frac{v^2 r}{G}= \frac{4\pi^2 r^3}{U^2 \cdot G} \\&= \frac{4\pi^2 (3,8 \cdot 10^9 \mbox{m})^3 }{ (231900 \mbox{s})^2\cdot 6,67408 \cdot 10^{-11} \frac{\mbox{m}^3}{\mbox{kg} \cdot \mbox{s}^2}} \approx 6,036 \cdot 10^{29} \mbox{kg} \end{align}$$

von 4,2 k
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Hallo kallewirsch,

die Masse M dieses Planeten erhält man aus dem Ansatz

Zentripetalkraft = Gravitationskraft    ⇔    m * ω2 * r  = G * m * M / r2         [ ω = 2π / T ]

   ⇔  M  =  4 π2 * r3  / ( G * T)  ≈#  6.0355 ·1029 kg  ≈  6 ·1029 kg 

( wegen des mit Sicherheit stark gerundeten Abstands r macht eine genauere Angabe wohl keinen Sinn)     

#     r ≈ 3,8 * 109 m    ,    T = (2·24·3600 + 16·3600 + 25·60) s = 231900 s  

,     G = 6,6741 * 10-11 m3 / (kg * s2)

Gruß Wolfgang  

von 6,1 k
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Ich würde das wie folgt rechnen:

Ansatz

F = 4·pi^2·m·r/t^2 = G·m·M/r^2

Auflösen nach M, Werte einsetzen und ausrechnen.

Ich komme damit auf M = 6.037·10^29 kg


von 9,5 k

Verdammt schwerer Planet. Der wiegt fast soviel wie unsere Sonne.

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