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Aufgabe:

Die Ausgänge \( a_{0} \) und \( a_{1} \) eines 2 Bit Prioritätsenkoders sollen mit Multiplexern realisiert werden.

1. Benutzen Sie für die beiden Ausgänge jeweils einen 16x1 Multiplexer.

2. Benutzen Sie für die beiden Ausgänge jeweils einen 8x1 Multiplexer.

3. Benutzen Sie für die beiden Ausgänge jeweils einen \( 4 \times 1 \) Multiplexer.

4. Benutzen Sie für die beiden Ausgänge jeweils einen 2x1 Multiplexer.

5. Geben Sie zu 4. jeweils ein zugehöriges ROBDD an.



Hinweis:

So sieht ein Prioritätsenkoder aus:

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Antwort mit KI erzeugt

Ausgangsbasis

Ein 2-Bit Prioritätsenkoder nimmt 4 Eingänge \(d_0, d_1, d_2, d_3\) an und gibt zwei Ausgänge \(a_0, a_1\) basierend auf der Priorität der Eingänge aus. Die Priorität reicht von \(d_0\) (niedrigste) bis \(d_3\) (höchste). Der Enkodierungsprozess ist wie folgt definiert:

- Wenn \(d_3 = 1\), dann \(a_1 a_0 = 11\)
- Wenn \(d_3 = 0\) und \(d_2 = 1\), dann \(a_1 a_0 = 10\)
- Wenn \(d_3 = d_2 = 0\) und \(d_1 = 1\), dann \(a_1 a_0 = 01\)
- Wenn \(d_3 = d_2 = d_1 = 0\) und \(d_0 = 1\), dann \(a_1 a_0 = 00\) (nicht priorisiert in einem typischen Enkoder, aber relevant für Vollständigkeit).

1. Verwendung eines 16x1 Multiplexers

Für die Implementierung mit einem 16x1 Multiplexer für jedes Ausgangsbit, ergeben sich folgende Ausgangswerte basierend auf den Eingangskombinationen von \(d_3\), \(d_2\), \(d_1\), \(d_0\):

- Für \(a_0\): Dieses Bit ist 1 für Eingangskombinationen \(d_3\), \(d_2\), also bei den letzten 4 Fällen der 16 möglichen Eingangskombinationen. Daher wird der Multiplexer so programmiert, dass er bei den entsprechenden Eingangsadressen eine '1' ausgibt.
- Für \(a_1\): Dieses Bit ist 1 für Eingangskombinationen \(d_3\), \(d_1\), also bei jeder zweiten Kombination der letzten 8 Fälle.

2. Verwendung eines 8x1 Multiplexers

Ein 8x1 Multiplexer kann benutzt werden, um entweder \(a_0\) oder \(a_1\) auszugeben, indem bestimmte Eingangssignale gebündelt werden. Jedoch benötigt man zur exakten Realisierung einer Prioritätslogik zusätzliche Logik außerhalb des Multiplexers, um die 4 Eingänge auf 3 zu reduzieren.

3. Verwendung eines \(4 \times 1\) Multiplexers

Um die Ausgänge mit einem \(4 \times 1\) Multiplexer zu realisieren, kann man die vier Eingänge direkt an den Multiplexer anlegen. Für \(a_0\) und \(a_1\) muss intern eine Logik implementiert werden, die die korrekten Ausgangswerte für die jeweiligen Eingänge liefert. Dies könnte durch eine Reduktion der Eingangsbedingungen erfolgen, wobei jedes Bit als ein einzelner Eingang betrachtet wird.

4. Verwendung eines 2x1 Multiplexers

Die Implementierung mit einem 2x1 Multiplexer erfordert eine Eingangsreduktion oder Vorverarbeitung, um eine Entscheidung zwischen zwei Werten basierend auf der höchsten Priorität zu treffen. Eine mögliche Implementierung könnte folgendermaßen aussehen:

- Für \(a_0\): Verwende zwei 2x1 Multiplexer. Der erste wählt zwischen \(d_0\) und \(d_1\), der zweite zwischen \(d_2\) und \(d_3\). Ein dritter 2x1 Multiplexer wählt dann basierend auf dem Ausgang des zweiten Multiplexers das endgültige Ausgangssignal.
- Für \(a_1\): Ähnlich wie bei \(a_0\), aber die Logik muss an die spezifischen Bedingungen für \(a_1\) angepasst werden, d.h., es wird mehr Gewicht auf \(d_3\) und \(d_1\) gelegt.

5. ROBDD

Das ROBDD (Reduced Ordered Binary Decision Diagram) für diese Implementierung würde zeigen, wie Entscheidungen basierend auf den Werten von \(d_3\), \(d_2\), \(d_1\) und \(d_0\) getroffen werden, um zu \(a_0\) und \(a_1\) zu gelangen. Aufgrund der Komplexität und Vielfalt von Implementierungsdetails sind spezifische ROBDDs für jeden Schritt hier nicht direkt angegeben, jedoch besteht der zentrale Punkt darin, die Binärbaumstruktur zu nutzen, um die Prioritätslogik basierend auf den Eingängen effektiv darzustellen.

Jedes ROBDD würde an den Knoten Entscheidungen über die Eingänge treffen und mit den Kanten zu den entsprechenden Ausgängen führen, wobei der Pfad von der höchsten zur niedrigsten Priorität der Eingangssignale folgt.
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