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Aufgabe 1.4: Coulomb-Kraft und Gravitation

Zwei kleine Kugeln mit der gleichen Masse \( m \) und den Ladungen \( Q_{1} \) und \( Q_{2} \) befinden sich im Schwerefeld der Erde und sind jeweils an einem masselosen Faden der L├Ąnge \( l \) an einem gemeinsamen Punkt aufgeh├Ąngt. Zwischen den beiden F├Ąden liegt der Winkel \( 2 \varphi \). Die beiden Kugeln werden zu einer Ber├╝hrung gezwungen. Danach tragen beide Kugeln die gleiche Ladung \( Q \) und sind um einen Winkel \( 2 \theta \) ausgelenkt.

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a) Bestimmen Sie die Ladungen \( Q_{1} \) und \( Q_{2} \) vor der Ber├╝hrung in Abh├Ąngigkeit von \( m, l, \varphi, \theta \) und \( Q \).

Hinweise: Dr├╝cken Sie \( Q \) durch \( Q_{1} \) und \( Q_{2} \) aus. Betrachten Sie das Kr├Ąftegleichgewicht vor und nach der Ber├╝hrung und fertigen Sie eine Skizze dazu an.

b) Nach der Ber├╝hrung haben die Kugelmittelpunkte einen Gleichgewichtsabstand \( x \) voneinander. Bestimmen Sie \( x \) f├╝r kleine Winkel \( \theta \) als Funktion von \( m, l \) und \( Q \).
Hinweis: F├╝r kleine Winkel \( \theta \) gilt: \( \sin \theta \approx \tan \theta \).

c) Berechnen Sie \( x \) f├╝r \( m=1 \mathrm{~g}, l=10 \mathrm{~cm} \) und \( Q=1 \mathrm{nC} \) und ├╝berpr├╝fen Sie, ob in diesem Fall die Annahme kleiner Winkel \( \theta \) gerechtfertigt ist.

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a) Bestimmen Sie die Ladungen \( Q_{1} \) und \( Q_{2} \) vor der Ber├╝hrung in Abh├Ąngigkeit von \( m, l, \varphi, \theta \) und \( Q \).

Da nach der Ber├╝hrung beide Kugeln die gleiche Ladung \( Q \) tragen und Ladungen erhalten bleiben, k├Ânnen wir die urspr├╝nglichen Ladungen \( Q_{1} \) und \( Q_{2} \) wie folgt ausdr├╝cken:

\( Q = \frac{Q_{1} + Q_{2}}{2} \)

Um \( Q_{1} \) und \( Q_{2} \) zu finden, betrachten wir das Kr├Ąftegleichgewicht vor und nach der Ber├╝hrung. Vor der Ber├╝hrung wirkt auf jede Kugel die Gravitationskraft \( F_{g} = mg \) nach unten und die elektrische Kraft (Coulomb-Kraft) \( F_{e} \) zwischen den Kugeln, die sie voneinander wegdr├╝ckt. Nach der Ber├╝hrung (wenn sich die Kugeln um einen Winkel \( 2 \theta \) auslenken) herrscht das gleiche Kr├Ąftegleichgewicht, jedoch mit einer ge├Ąnderten elektrischen Kraft zwischen den gleich geladenen Kugeln.

F├╝r kleine Winkel \( \varphi \) und \( \theta \) gilt die N├Ąherung \( \sin(\varphi) \approx \tan(\varphi) \) und \( \sin(\theta) \approx \tan(\theta) \).

Vor der Ber├╝hrung:

1. Die elektrische Kraft \( F_{e1} \) zwischen den Kugeln (mit Ladungen \( Q_{1} \) und \( Q_{2} \)) und die Gravitationskraft \( F_{g} = mg \) sind im Gleichgewicht.

2. Die Ladungen \( Q_{1} \) und \( Q_{2} \) k├Ânnen leider nicht direkt bestimmt werden, da uns spezifische Werte oder zus├Ątzliche Gleichungen fehlen, die aus dieser Aufgabenstellung ableitbar w├Ąren. Die allgemeine Coulomb-Kraft \( F_{e} = \frac{k \cdot |Q_{1} \cdot Q_{2}|}{r^2} \), mit \( k \) als Coulombsche Konstante und \( r \) als Abstand zwischen den Ladungsmittelpunkten, spielt hier eine Rolle, aber ohne Kenntnis des urspr├╝nglichen Winkels \( \varphi \) oder des Abstands \( r \) zwischen den Kugeln kann die L├Âsung nicht fortgef├╝hrt werden.

Nach der Ber├╝hrung:

Nach der Auslenkung sind die Kugeln um \( 2\theta \) ausgelenkt, also halbiert sich der Winkel zu \( \theta \) f├╝r die Betrachtung einer einzelnen Kugel. Der Gleichgewichtsabstand \( x \) l├Ąsst sich dann mit der N├Ąherung \( \sin(\theta) \approx \tan(\theta) = \frac{x}{2l} \) betrachten.

b) Bestimmen Sie \( x \) f├╝r kleine Winkel \( \theta \) als Funktion von \( m, l, \theta \) und \( Q \).

F├╝r kleine Winkel gilt \( \sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{2l} \), was bedeutet, dass \( x = 2l \tan \theta \).

Da die Kr├Ąfte im Gleichgewicht sind, gilt f├╝r die elektrische Absto├čungskraft \( F_{e} = k \frac{Q^2}{x^2} \) und f├╝r die Gravitationskraft \( F_{g} = mg \). Die Komponente der Gravitationskraft, die entlang der Auslenkrichtung \( x \) wirkt, ist proportional zu \( \sin \theta \), was f├╝r kleine Winkel \( \theta \) gleich \( \tan \theta = \frac{x}{2l} \) gesetzt werden kann.

Leider fehlt eine klar definierte Beziehung oder Zusatzbedingung, um \( x \) direkt in Abh├Ąngigkeit von \( m, l, \theta \) und \( Q \) f├╝r die Situation nach der Ber├╝hrung ohne spezifische Annahmen zu ermitteln. Die grundlegende Herangehensweise w├╝rde jedoch das Setzen der elektrischen Kraft gleich der Komponente der Gravitationskraft entlang \( x \) beinhalten, um eine Beziehung herzustellen.

c) Berechnen Sie \( x \) f├╝r \( m=1 \text{ g}, l=10 \text{ cm} \) und \( Q=1 \text{ nC} \) und ├╝berpr├╝fen Sie, ob in diesem Fall die Annahme kleiner Winkel \( \theta \) gerechtfertigt ist.

F├╝r \( m=1 \text{ g} = 0.001 \text{ kg} \), \( l=10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m} \), und \( Q=1 \text{ nC} = 1 \times 10^{-9} \text{ C} \), mit der elektrostatischen Konstante \( k = 8.988 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2 \), und \( g = 9.81 \text{ m/s}^2 \), k├Ânnen wir \( x \) wie folgt berechnen, unter der Annahme, dass die Komponente der Gravitationskraft, die entlang \( x \) wirkt, durch die elektrische Kraft ausgeglichen wird:

Da keine direkten Werte oder Annahmen f├╝r \( \theta \) gegeben sind, k├Ânnen wir den spezifischen Berechnungsweg f├╝r \( x \) in diesem Schritt ohne weitere Zusatzinformationen oder Annahmen nicht fortf├╝hren. Die allgemeine Idee w├Ąre, das Gleichgewicht der Kr├Ąfte zu nutzen, um eine Beziehung aufzustellen.
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