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Aufgabe:

a) Betrachten Sie die Ladungsverteilungen auf folgenden Körpern, die jeweils die GesamtladungQ > 0 tragen:(i) eine leitende Kugel (Radius R), (ii) eine nicht-leitende Kugel (Radius R) und (iii) eine nicht-leitende Hohlkugel (Innenradius R/2, Außenradius R).

b) Geben Sie jeweils an, in welchen Abständen r vom Kugelmittelpunkt die Ladungsdichte ungleich null ist. Bestimmen Sie in diesen Fällen jeweils, wie die Flächen- bzw. Raumladungsdichte von Q und R abhängt.

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Ladungsverteilungen auf verschiedenen Kugeln

a) Betrachten der Ladungsverteilungen:

(i) Leitende Kugel (Radius R):

In einer leitenden Kugel verteilt sich die gesamte Ladung Q gleichmäßig auf der Oberfläche der Kugel, da Ladungen sich innerhalb eines Leiters so anordnen, dass das elektrische Feld im Inneren null wird. Daher befindet sich keine Ladung im Inneren der Kugel.

(ii) Nicht-leitende Kugel (Radius R):

Bei einer nicht-leitenden Kugel kann sich die Ladung Q auch innerhalb des Materials verteilen und ist nicht nur auf die Oberfläche beschränkt. Die spezifische Ladungsverteilung hängt von den materiellen Eigenschaften des Nicht-Leiters ab. Es kann eine gleichmäßige Verteilung der Ladung über das Volumen oder eine andere spezifische Verteilung vorliegen.

(iii) Nicht-leitende Hohlkugel (Innenradius R/2, Außenradius R):

Hier befindet sich die Ladung Q nur im Material der Kugelschale zwischen dem Innenradius \(R/2\) und dem Außenradius \(R\), da das Innere der Hohlkugel leer ist und die Außenseite eine nicht-leitende Schicht darstellt.

b) Abstände r vom Kugelmittelpunkt, bei denen die Ladungsdichte ungleich null ist, und Abhängigkeit von Q und R:

(i) Leitende Kugel (Radius R):

*Abstand r:* Die Ladungsdichte ist nur auf der Oberfläche der Kugel bei \(r = R\) ungleich null.

*Flächenladungsdichte \(\sigma\):* Da die gesamte Ladung Q gleichmäßig auf der Oberfläche der Kugel verteilt ist, berechnet sich die Flächenladungsdichte durch \(\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}\), wobei \(4\pi R^2\) die Oberfläche der Kugel ist.

(ii) Nicht-leitende Kugel (Radius R):

*Abstand r:* Die Ladungsdichte kann innerhalb der gesamten Kugel von \(0\) bis \(R\) variieren.

*Raumladungsdichte \(\rho\):* Die Abhängigkeit von Q und R hängt von der spezifischen Ladungsverteilung ab. Für eine gleichmäßige Verteilung ist \(\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}\), wobei \(\frac{4}{3}\pi R^3\) das Volumen der Kugel ist.

(iii) Nicht-leitende Hohlkugel (Innenradius R/2, Außenradius R):

*Abstand r:* Die Ladungsdichte ist ungleich null im Bereich \(R/2 \leq r \leq R\).

*Raumladungsdichte \(\rho\):* Für eine gleichmäßige Verteilung der Ladung innerhalb der Materialschicht der Kugelschale berechnet sich \(\rho\) durch \(Q\) geteilt durch das Volumen der Schale, also \(\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi (R/2)^3}\). Hier subtrahieren wir das Volumen des inneren Raums vom Volumen der größeren Kugel, um das Volumen der Schale zu erhalten.

Zusammengefasst, hängt die spezifische Ladungsdichte und deren Abhängigkeit von der Gesamtladung \(Q\) und dem Radius \(R\) von der Art des Materials (leitend vs. nicht-leitend) und der geometrischen Struktur (voll vs. hohl) der Kugeln ab.
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