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Aufgabe:

Einem Kügelchen aus Natrium (23Na, Masse m = 1 g, Dichte ρ ≈ 1 g/cm3) fehlen eine Millionen Valenzelektronen. Berechnen Sie folgende Größen und geben Sie Ihre Ergebnisse in wissenschaftlicher Notation (Potenzschreibweise) mit den angegebenen Einheiten an:

a) die Anzahl N [1] und die Teilchendichte n [1/m3] der Na-Atome der Kugel.

b) den Radius r [m], die Ladung Q [C] und die Oberflächenladungsdichte σ [C/m2] der Kugel.Betrachten Sie nun zwei dieser Natrium-Kügelchen, die einen Meter voneinander entfernt sind.

c) Berechnen Sie die Coulomb-Kraft FC [N] zwischen den Natrium-Kügelchen und vergleichen Sie sie mit der Gravitationskraft zwischen ihnen. (Vernachlässigen Sie Ladungsverschiebun- gen.)

d) Wie ändern sich die Ergebnisse von Teil c), wenn Sie anstelle der Natrium-Kügelchen zwei Elektronen in einem Abstand von einem Meter betrachten?Verwenden Sie in Ihren Rechnungen folgende Zahlenwerte: atomare Masseneinheit: 1 u = 1, 66 · 10^−27 kg, Masse eines Elektrons: me = 9, 1 · 10^−31 kg, Gravitationskonstante G = 6, 67 · 10^−11 m^3kg^−1s^−2.

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a) Anzahl N und Teilchendichte n der Na-Atome

Um die Anzahl \(N\) der Natrium-Atome in der Kugel zu bestimmen, teilen wir die Gesamtmasse \(m\) des Kügelchens durch die Masse eines Na-Atoms. Die Masse eines Na-Atoms lässt sich durch die Multiplikation der atomaren Masseneinheit (\(u\)) mit der atomaren Masse von Natrium (ca. 23 u) ermitteln:
\(m_{\text{Na}} = 23 \times 1,66 \times 10^{-27} \, \text{kg} = 3,818 \times 10^{-26} \, \text{kg}\)
Da \(m = 1\) g \(= 1 \times 10^{-3}\) kg ist, berechnet sich \(N\) wie folgt:
\(N = \frac{m}{m_{\text{Na}}} = \frac{1 \times 10^{-3} \, \text{kg}}{3,818 \times 10^{-26} \, \text{kg}} \approx 2,62 \times 10^{22}\)

Die Teilchendichte \(n\) wird berechnet, indem die Anzahl der Na-Atome \(N\) durch das Volumen \(V\) der Kugel geteilt wird. Das Volumen ergibt sich aus der Masse \(m\) und der Dichte \(\rho\) des Natriums:
\(V = \frac{m}{\rho} = \frac{1 \, \text{g}}{1 \, \text{g/cm}^3} = 1 \, \text{cm}^3 = 1 \times 10^{-6} \, \text{m}^3\)
Daher:
\(n = \frac{N}{V} = \frac{2,62 \times 10^{22}}{1 \times 10^{-6} \, \text{m}^3} = 2,62 \times 10^{28} \, \text{m}^{-3}\)

b) Radius r, Ladung Q und Oberflächenladungsdichte σ der Kugel

Um den Radius der Kugel zu berechnen, nutzen wir die Formel für das Volumen einer Kugel \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\) und lösen sie nach \(r\) auf:
\(r = \left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{1/3}\)
Einsetzen des Volumens \(V = 1 \times 10^{-6} \, \text{m}^3\):
\(r = \left(\frac{3 \times 1 \times 10^{-6} \, \text{m}^3}{4\pi}\right)^{1/3} \approx 6,20 \times 10^{-3} \, \text{m}\)

Die Ladung \(Q\) der Kugel ergibt sich aus der Anzahl der fehlenden Elektronen (\(1 \times 10^6\)) multipliziert mit der Ladung eines Elektrons (\(-1,6 \times 10^{-19}\) C):
\(Q = 1 \times 10^6 \times (-1,6 \times 10^{-19} \, \text{C}) = -1,6 \times 10^{-13} \, \text{C}\)

Die Oberflächenladungsdichte \(\sigma\) berechnet sich durch:
\(\sigma = \frac{Q}{4\pi r^2}\)
Einsetzen der Werte liefert:
\(\sigma = \frac{-1,6 \times 10^{-13} \, \text{C}}{4\pi \times (6,20 \times 10^{-3} \, \text{m})^2} \approx -2,07 \times 10^{-9} \, \text{C/m}^2\)

c) Coulomb-Kraft \(F_C\) zwischen den Natrium-Kügelchen

Die Coulomb-Kraft \(F_C\) zwischen den beiden Kugeln berechnet sich mit dem Coulomb-Gesetz:
\(F_C = \frac{k \cdot |Q_1| \cdot |Q_2|}{r^2}\)
wobei \(k = 8,987 \times 10^9 \, \text{N m}^2/\text{C}^2\) und \(r = 1\) m ist. Da \(Q_1 = Q_2 = -1,6 \times 10^{-13}\) C, ergibt sich:
\(F_C = \frac{8,987 \times 10^9 \times (1,6 \times 10^{-13})^2}{1^2} \approx 2,30 \times 10^{-16} \, \text{N}\)

Die Gravitationskraft \(F_G\) zwischen den Kugeln berechnet sich mit dem Gravitationsgesetz:
\(F_G = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\)
Hier ist \(G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg s}^2\), \(m_1 = m_2 = 1 \times 10^{-3} \, \text{kg}\), und \(r = 1\) m:
\(F_G = 6,67 \times 10^{-11} \frac{(1 \times 10^{-3})^2}{1^2} = 6,67 \times 10^{-17} \, \text{N}\)
Also ist \(F_C\) stärker als \(F_G\).

d) Coulomb- und Gravitationskraft zwischen zwei Elektronen

Für zwei Elektronen im Abstand von einem Meter folgt:
\(F'_C = \frac{k \cdot |q_e|^2}{r^2}\)
mit \(q_e = 1,6 \times 10^{-19} \, \text{C}\), liefert dies:
\(F'_C = \frac{8,987 \times 10^9 \times (1,6 \times 10^{-19})^2}{1^2} \approx 2,30 \times 10^{-28} \, \text{N}\)

Die Gravitationskraft \(F'_G\) zwischen zwei Elektronen berechnet sich analog:
\(F'_G = G \frac{m_e^2}{r^2}\)
mit \(m_e = 9,1 \times 10^{-31} \, \text{kg}\), ergibt dies:
\(F'_G = 6,67 \times 10^{-11} \frac{(9,1 \times 10^{-31})^2}{1^2} \approx 5,54 \times 10^{-51} \, \text{N}\)

Die Coulomb-Kraft ist auch in diesem Fall erheblich größer als die Gravitationskraft, allerdings sind die Kräfte zwischen den Elektronen viel kleiner als die zwischen den Natrium-Kügelchen.
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