Mathe-Physik: Einen Körper der Masse m aus der Entfernung r1 vom Erdmittelpunkt in die Entfernung r2

Question

Auf einem Gravitationsfeld der Erde befindlichen Körper  wirkt die Gravitationskraft F(r)=G*(M*m)/r². Dabei ist r die Entfernung des Körpers vom Erdmittelpunkt (in m), M die Erdmasse (in kg), m die Masse des Körpers (in kg) und F(r) die Anziehungskraft (in N), G=6,67*10^-11 m³kg^-1s^-2 ist die Gravitationskonstante.

1). Gib die Formel für die Arbeit an, die verrichtet werden muss, um einen Körper der Masse m aus der Entfernung r₁ vom Erdmittelpunkt in die Entfernung r₂ vom Erdmittelpunkt zu bringen.

2). Berechne die Arbeit (in Joule), die verrichtet werden muss, um eine 2,5 Tonnen schwere Rakete von der Erdoberfläche in 450km Höhe zu bringen. (Erdradius=6378km, Erdmasse 5,97*10²⁴kg)

Answer 1

1)

Die Arbeit ist das Produkt aus Kraft und Weg. Da die Kraft in diesem Fall nicht konstant ist, muss das Wegintegral benutzt werden. Außerdem wirkt die Kraft der Wegrichtung entgegen, muss also negativ angesetzt werden.

w = ∫(r₁..r₂) -F(r) dr

w = ∫(r₁..r₂) -G*M*m/r² dr

G,M,m sind Konstanten, also vor das Integral damit.

w = -G*M*m *∫(r₁..r₂) 1/r² dr

Integrieren:

w = -G*M*m *[ -1/r]_r1^r2

w = -G*M*m * (-1/r₁ + 1/r₂)

w =  G*M*m * (1/r₁ - 1/r₂)

 

2)

Die Werte in die gerade gewonnene Formel einsetzen. Aufpassen mit den Einheiten, am besten alles in Standardeinheiten (kg,m,s) umrechnen.

w = G*M*m * (1/r₁ - 1/r₂)

w = 6,67*10^-11 m³kg^-1s^-2 * 5,97*10²⁴kg * 2500 kg * (1/6378000m - 1/(6378000m+450000m))

w = 1,03 * 10¹⁰ J = 10,3 GJ

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Gern geschehen.