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Aufgabe (Boolesche Algebra):

Zeigen Sie, dass die Potenzmenge \( \mathcal{P} \) einer nichtleeren Trägermenge \( \mathrm{T} \) zusammen mit den Operatoren \( \cap \) und \( \cup \) eine boolesche Algebra bilden.

1. Geben Sie die Potenzmenge \( \mathcal{P} \) zur Trägermenge \( T=\{a, b, c\} \) an. (3P)

2. Wieviel Elemente hat die Potenzmenge allgemein? (3P)

3. Beweisen Sie die Gültigkeit der Huntington'schen Axiome für \( \mathrm{BA}=(\mathcal{P}, \cap, \cup) \) für beliebige Trägermengen \( \mathrm{T} \).

a) (A1) BA enthält mindestens 2 verschiedene Elemente. (3P)
b) (A2, A3) Abgeschlossenheit hinsichtlich \( \cap \) und \( \cup \). (4P)
c) (A4, A5) Kommutativität von \( \cap \) und \( \cup \). (5P)
d) (A6, A7) Distributivität hinsichtlich \( \cap \) und \( \cup \). (6P)
e) (A8, A9) Existenz der neutralen Elemente hinsichtlich \( \cap \) und U. (5P)
f) (A10, A11) Komplemente hinsichtlich \( \cap \) und \( \cup \). (6P)

Hinweise:
- für die Axiome 4 bis 11 sind formale Mengendefinitionen der folgenden Art hilfreich: \( M= \) \( \{x \mid \) Bedingung \( \} \)
- Überlegen Sie sich zunächst, wie Sie Mengenoperationen ( \( \cap, \cup) \) mit Hilfe der Aussagenlogik beschreiben können.

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1. Potenzmenge \( \mathcal{P}(T) \) zur Trägermenge \( T=\{a, b, c\} \)

Die Potenzmenge einer Menge ist die Menge aller Teilmengen dieser Menge, einschließlich der leeren Menge und der Menge selbst.

Für \( T=\{a, b, c\} \) sind die Teilmengen:

\( \mathcal{P}(T) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\} \} \)

Also hat die Potenzmenge \( \mathcal{P}(T) \) 8 Elemente.

2. Wieviel Elemente hat die Potenzmenge allgemein?

Hat eine Menge \( A \) insgesamt \( n \) Elemente, dann hat die Potenzmenge \( \mathcal{P}(A) \) \( 2^n \) Elemente.

_Beweis:_

Jedes Element der Menge \( A \) hat zwei Möglichkeiten bei der Bildung einer Teilmenge: Es kann entweder ein Teil der Teilmenge sein oder nicht. Wenn \( A \) \( n \) Elemente hat, ergibt das \( 2^n \) Kombinationen von Elementen (Teilmengen), einschließlich der leeren Menge und der Menge \( A \) selbst. Somit beträgt die Anzahl der Elemente in \( \mathcal{P}(A) \) \( 2^n \).

3. Gültigkeit der Huntington'schen Axiome

Die Huntingtonschen Axiome stellen eine Definition einer booleschen Algebra dar. Wir verifizieren diese Axiome für die boolesche Algebra \( \mathrm{BA}=(\mathcal{P}, \cap, \cup) \) mittels allgemeiner Mengenoperationen.

a) (A1) BA enthält mindestens 2 verschiedene Elemente.

Für jede Menge \( T \) enthält \( \mathcal{P}(T) \) die leere Menge \( \emptyset \) und \( T \) selbst als Elemente, bedeutet, \( \mathcal{P}(T) \) hat mindestens zwei verschiedene Elemente.

b) (A2, A3) Abgeschlossenheit hinsichtlich \( \cap \) und \( \cup \).

Für alle Teilmengen \( A, B \) von \( T \), ist \( A \cap B \) ebenfalls eine Teilmenge von \( T \), und das gleiche gilt für \( A \cup B \). Das heißt, sowohl \( \cap \) als auch \( \cup \) führen von \( \mathcal{P}(T) \) nach \( \mathcal{P}(T) \), was die Abgeschlossenheit bezüglich beider Operationen zeigt.

c) (A4, A5) Kommutativität von \( \cap \) und \( \cup \).

Für alle Teilmengen \( A, B \) von \( T \) gilt:

- \( A \cap B = B \cap A \)
- \( A \cup B = B \cup A \)

Die Reihenfolge der Elemente beeinflusst das Ergebnis der Operation nicht, was die Kommutativität beider Operationen beweist.

d) (A6, A7) Distributivität hinsichtlich \( \cap \) und \( \cup \).

Für alle Teilmengen \( A, B, C \) von \( T \) gilt:

- \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)
- \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)

Diese Gleichungen zeigen, dass \( \cap \) und \( \cup \) distributiv in Bezug aufeinander sind.

e) (A8, A9) Existenz der neutralen Elemente hinsichtlich \( \cap \) und \( \cup \).

Für jede Teilmenge \( A \) von \( T \) gilt:

- \( A \cap T = A \) und \( A \cap \emptyset = \emptyset \). Hier ist \( T \) das neutrale Element bezüglich \( \cap \), und \( \emptyset \) besteht als Identitätselement hinsichtlich \( \cup \).
- \( A \cup T = T \) und \( A \cup \emptyset = A \). Hier ist \( \emptyset \) das neutrale Element bezüglich \( \cup \), und \( T \) wirkt als Identitätselement hinsichtlich \( \cap \).

f) (A10, A11) Komplemente hinsichtlich \( \cap \) und \( \cup \).

Für jede Teilmenge \( A \) von \( T \) existiert ein Komplement \( A' = T \setminus A \), sodass:

- \( A \cap A' = \emptyset \)
- \( A \cup A' = T \)

Diese Gleichungen zeigen, dass zu jedem Element ein Komplement existiert, sodass die Menge zusammen mit \( \cap \) und \( \cup \) die Eigenschaften einer booleschen Algebra erfüllt.
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