Dauer des Überholvorgangs und Beschleunigung des PKW berechnen

Question

hallo zusammen,

ein lkw fährt mit einer geschwindigkeit von 72km/h auf einer geraden strecke. ihm folgt ein pkw mit gleicher geschwindigkeit in 5 m abstand. die höchstgeschwindigkeit des pkw beträgt 90 km/h. 200 m vor dem pkw ist ein engpass. der fahrer will vorher noch überholen und muss beim erreichen des engpasses 10m vor dem lkw liegen. gesucht ist

a) die dauer des überholvorgangs

b) die konstante beschleunigung, die der pkw aufbringen muss.

ps. pkw länge 5 m

lkw länge 10 m

kann mir da wer helfen

Answer 1

a) Legt man ein Koordinatensystem so in die Szenerie, dass die Fahrzeuge sich auf dessen x-Achse bewegen und sich die Front des Pkw zu Beginn des Überholvorganges im Ursprung befindet, dann befindet sich die Front des Lkw zu diesem Zeitpunkt bei

x = 15 m

(5 m Abstand zum Pkw und 10 m Lkw-Länge).
Beim Abschluss des Überholvorganges darf sich die Front des Lkw höchstens bei

x = 185 m

befinden (200 m Überholstrecke - 5 m Pkw-Länge - 10 m Sicherheitsabstand)

Der Überholvorgang muss also innerhalb desjenigen Zeitraumes t_ü beendet werden, in welchem der Lkw mit konstanter Geschwindigkeit von 72 km/h = 20 m/s die Strecke 

185 - 15 = 170 m

zurücklegt, also:

t_ü = 170 m / 20 m/s = 8,5 s

Der Überholvorgang darf also maximal 8,5 s dauern. 

 

b) Hier sind nun einige Gleichungen aufzustellen und zu lösen.

Sei

s_b der Weg, den der Pkw beim Beschleunigen von 72 km/h ( 20 m/s ) auf 90 km/h ( 25 m/s ) zurücklegt und

s_c der Weg, den er anschließend mit konstanter Geschwindigkeit von v_c = 25 m/s zurücklegt.

Sei außerdem

t_b die Zeit, während der der Pkw beschleunigt und

t_c die Zeit, mit der er nach der Beschleunigung weiterfährt.

Sei schließlich a die Beschleunigung in m/s²

Dann ist:

s_b = ( 1 / 2 ) a t_b²

s_c = v_c * t_c = 25 m/s * t_c

Δ v = a * t_b

<=> a = Δ v / t_b = ( 25 - 20 ) / t_b = 5 / t_b

Außerdem muss für die gesamte Überholstrecke s gelten:

s = s_b + s_c = 200 m

und

t_b+ t_c = 8,5 s

<=> t_c = 8,5 - t_b

 

Setzt man die Formeln für die Strecken s_b und s_c in die Gleichung für die Gesamtstrecke s ein, so erhält man:

( 1 / 2 ) a t_b² + 25 m/s * t_c = 200 m

mit  t_c = 8,5 - t_b dann:

<=> ( 1 / 2 ) a t_b² + 25 m/s * ( 8,5 - t_b ) = 200 m

und mit a = 5 / t_b schließlich:

<=> ( 1 / 2 ) ( 5 / t_b ) t_b² + 25 m/s * ( 8,5 - t_b ) = 200 m

Das kann man nun nach t_b auflösen und erhält:

<=> ( 5 / 2 ) t _b +212,5 - 25 * t_b = 200

<=> 12,5 = 22,5 t_b

<=> t_b = 12,5 / 22,5 = ( 5 / 9 ) s

Die bedeutet, dass der Pkw mit

a = 5 / t_b = 5 / ( 5 / 9 ) = 5 * ( 9 / 5 ) = 9 m/s²

beschleunigen muss. Das dürfte kaum ein Pkw schaffen ...

 

Der Beschleunigungsweg ist damit übrigens

s_b = ( 1 / 2 ) a * t_b² = ( 9 / 2 ) * ( 5 / 9 ) ² = 25 / 18 = 1,39 m

lang, während der Weg mit konstanter Geschwindigkeit
s_c = 25 * t_c = 25 * ( 8,5 - ( 5 / 9 ) ) = 198,61 m

lang ist. Die Summe s_b + s_c beträgt also tatsächlich 200 m.