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hallo zusammen,

ein lkw fährt mit einer geschwindigkeit von 72km/h auf einer geraden strecke. ihm folgt ein pkw mit gleicher geschwindigkeit in 5 m abstand. die höchstgeschwindigkeit des pkw beträgt 90 km/h. 200 m vor dem pkw ist ein engpass. der fahrer will vorher noch überholen und muss beim erreichen des engpasses 10m vor dem lkw liegen. gesucht ist

a) die dauer des überholvorgangs

b) die konstante beschleunigung, die der pkw aufbringen muss.

ps. pkw länge 5 m

lkw länge 10 m

kann mir da wer helfen
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1 Antwort

+1 Punkt

a) Legt man ein Koordinatensystem so in die Szenerie, dass die Fahrzeuge sich auf dessen x-Achse bewegen und sich die Front des Pkw zu Beginn des Überholvorganges im Ursprung befindet, dann befindet sich die Front des Lkw zu diesem Zeitpunkt bei

x = 15 m

(5 m Abstand zum Pkw und 10 m Lkw-Länge).
Beim Abschluss des Überholvorganges darf sich die Front des Lkw höchstens bei

x = 185 m

befinden (200 m Überholstrecke - 5 m Pkw-Länge - 10 m Sicherheitsabstand)

Der Überholvorgang muss also innerhalb desjenigen Zeitraumes tü beendet werden, in welchem der Lkw mit konstanter Geschwindigkeit von 72 km/h = 20 m/s die Strecke 

185 - 15 = 170 m

zurücklegt, also:

tü = 170 m / 20 m/s = 8,5 s

Der Überholvorgang darf also maximal 8,5 s dauern. 

 

b) Hier sind nun einige Gleichungen aufzustellen und zu lösen.

Sei

sb der Weg, den der Pkw beim Beschleunigen von 72 km/h ( 20 m/s ) auf 90 km/h ( 25 m/s ) zurücklegt und

sc der Weg, den er anschließend mit konstanter Geschwindigkeit von vc = 25 m/s zurücklegt.

Sei außerdem

tb die Zeit, während der der Pkw beschleunigt und

tc die Zeit, mit der er nach der Beschleunigung weiterfährt.

Sei schließlich a die Beschleunigung in m/s2

Dann ist:

sb = ( 1 / 2 ) a tb2

sc = vc * tc = 25 m/s * tc

Δ v = a * tb

<=> a = Δ v / tb = ( 25 - 20 ) / tb = 5 / tb

Außerdem muss für die gesamte Überholstrecke s gelten:

s = sb + sc = 200 m

und

tb+ tc = 8,5 s

<=> tc = 8,5 - tb

 

Setzt man die Formeln für die Strecken sb und sc in die Gleichung für die Gesamtstrecke s ein, so erhält man:

( 1 / 2 ) a tb2 + 25 m/s * tc = 200 m

mit  tc = 8,5 - tb dann:

<=> ( 1 / 2 ) a tb2 + 25 m/s * ( 8,5 - tb ) = 200 m

und mit a = 5 / tb schließlich:

<=> ( 1 / 2 ) ( 5 / tb ) tb2 + 25 m/s * ( 8,5 - tb ) = 200 m

Das kann man nun nach tb auflösen und erhält:

<=> ( 5 / 2 ) t b +212,5 - 25 * tb = 200

<=> 12,5 = 22,5 tb

<=> tb = 12,5 / 22,5 = ( 5 / 9 ) s

Die bedeutet, dass der Pkw mit

a = 5 / tb = 5 / ( 5 / 9 ) = 5 * ( 9 / 5 ) = 9 m/s²

beschleunigen muss. Das dürfte kaum ein Pkw schaffen ...

 

Der Beschleunigungsweg ist damit übrigens

sb = ( 1 / 2 ) a * tb2 = ( 9 / 2 ) * ( 5 / 9 ) 2 = 25 / 18 = 1,39 m

lang, während der Weg mit konstanter Geschwindigkeit
sc = 25 * tc = 25 * ( 8,5 - ( 5 / 9 ) ) = 198,61 m

lang ist. Die Summe sb + sc beträgt also tatsächlich 200 m.

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