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Aufgabe:

Ein Kalorimeter einer Wärmekapazität von 1,2Kj/K enthält 2 Liter eines Gemisches aus Wasser und Eis jeweils einer Temperatur von 0°C, wobei der Anteil des Eises 10% beträgt.

Es wird eine Stahlkugel mit einem Durchmesser von 8 cm und einer Temperatur von 400°C in das Kalorimeter gegeben.

a) Untersuchen Sie, ob nach dem Wärmeaustausch sich noch Eis im Kalorimeter befindet und begründen Sie ihre Aussage.

b) Welche Mischungstemperatur stellt sich ein?

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Zur Beantwortung der Frage fehlen aber die Angaben
von spez.Wärme Stahl, spez.Wärme Wasser, Schmelzwärme Eis
usw.
Da müßte ein möglicher Antwortgeber aber noch eine Menge
selbst recherchieren.

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Antwort mit KI erzeugt

a) Untersuchung, ob sich nach dem Wärmeaustausch noch Eis im Kalorimeter befindet

Um zu untersuchen, ob sich nach dem Wärmeaustausch noch Eis im Kalorimeter befindet, müssen wir die Energiemengen betrachten, die für das Schmelzen des Eises erforderlich sind, sowie die Energie, die die Stahlkugel abgibt.

Bekannte Größen:
- Wärmekapazität des Kalorimeters: \(C_k = 1,2 \, \text{kJ/K}\)
- Temperatur des Eises und des Wassers: \(0^\circ\text{C}\)
- Anteil des Eises in Wasser: \(10\%\)
- Volumen des Eis-Wasser-Gemisches: \(2 \, \text{Liter}\) = \(2000 \, \text{g}\) Wasser, \(200 \, \text{g}\) Eis (angenommen die Dichte des Wassers beträgt \(1 \, \text{g/cm}^3\))
- Durchmesser der Stahlkugel: \(8 \, \text{cm}\)
- Temperatur der Stahlkugel: \(400^\circ\text{C}\)
- Spezifische Schmelzwärme von Eis: \(334 \, \text{kJ/kg}\)
- Spezifische Wärmekapazität von Wasser: \(4,18 \, \text{kJ/kg K}\)
- Spezifische Wärmekapazität von Stahl: \(0,49 \, \text{kJ/kg K}\)
- Dichte von Stahl: \(7850 \, \text{kg/m}^3\)

Berechnung der Stahlkugelmasse:
Die Masse der Stahlkugel lässt sich mit dem Volumen \(V\) und der Dichte \(\rho\) berechnen. Da \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) und \(r = 4 \, \text{cm} = 0,04 \, \text{m}\), gilt:
\( m_{\text{Stahl}} = \rho V = 7850 \cdot \frac{4}{3}\pi (0,04)^3 \, \text{kg} \)
\( m_{\text{Stahl}} \approx 7850 \cdot \frac{4}{3}\pi (0,0016) \, \text{kg} \)
\( m_{\text{Stahl}} \approx 0,133 \, \text{kg} \)

Energiemenge von der Stahlkugel abgegeben:
\( Q_{\text{Stahl}} = m_{\text{Stahl}} \cdot c_{\text{Stahl}} \cdot \Delta T \)
\( Q_{\text{Stahl}} = 0,133 \cdot 0,49 \cdot (400 - 0) \)
\( Q_{\text{Stahl}} = 26,142 \, \text{kJ} \)

Energiemenge zur Schmelzung des Eises:
\( Q_{\text{Schmelzen}} = m_{\text{Eis}} \cdot L \)
\( Q_{\text{Schmelzen}} = 0,2 \cdot 334 \)
\( Q_{\text{Schmelzen}} = 66,8 \, \text{kJ} \)

Da die vom Stahl abgegebene Energiemenge \(26,142 \, \text{kJ}\) beträgt und dies weniger als die zum Schmelzen erforderliche Energiemenge von \(66,8 \, \text{kJ}\) ist, folgt, dass nach dem Wärmeaustausch immer noch Eis im Kalorimeter vorhanden ist.

b) Ermittlung der Mischungstemperatur

Da nach dem Wärmeaustausch noch Eis im Kalorimeter vorhanden ist und unsere Rechnung zeigt, dass nicht genügend Energie vorhanden ist, um das gesamte Eis zu schmelzen, bedeutet das, dass die Endtemperatur des Systems bei \(0^\circ\text{C}\) liegt, weil jede zusätzliche Energie in das Schmelzen des restlichen Eises geht, bis diese Energie aufgebraucht ist. Da unsere Berechnungen eine Limitation aufweisen und wir uns auf die Annahme konzentriert haben, dass nicht das gesamte Eis geschmolzen ist, bleibt als Antwort für Teil b), dass die Mischungstemperatur bei \(0^\circ\text{C}\) bleibt, solange Eis vorhanden ist.
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