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zwei astronauten mit einem gewicht von jeweils 150kg sind 10m im weltall von einander entfernt. sie werden nur von ihren eigenen anziehungskräften beeinflusst. wie lange dauert es bis sie sich berühren? (es reicht wenn man nur mit den körperschwerpunkten rechnet)

ich versteh nicht ganz wie man das rechnen soll da die anziehungskraft ja immer größer wird je näher sie einander kommen...
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Hallo,

du hast mit der Gravitationskraft eine ortsabhängige Größe gegeben:

\( F_G(r) = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \).

Wegen \( m_1 = m_2 \) gilt

\( F_G(r) = G \frac{m_1^2}{r^2} \).

Die durch diese beschleunigte Masse erzielte Kraft beträgt

\( F = (m_1 + m_2) a = 2 m_1 a \).

Sprich

\( G \frac{m_1^2}{r^2} = 2m_1 a \)

oder

\( a = G \frac{m_1}{2 r^2} \).

Wegen \( r = a \frac{t^2}{2} \) gilt

\( r = G \frac{m_1}{2 r^2} \frac{t^2}{2} \)

oder

\( t = \sqrt{ \frac{4 r^3}{G m_1}} = 2 \sqrt{ \frac{r^3}{G m_1}}\).

Setzt du nun deine gegebenen Größen \( m_1 = 150\ kg \), \( r = 10\ m \) sowie die Gravitationskonstante \( G \) ein, so erhältst du das Ergebnis.

MfG

Mister

Hallo, wie kommst du auf r = a/2 t^2 ? Das ist doch der gleichmäßig beschleunigte Fall. Davon kann man doch hier aber nicht ausgehen, weil a nicht konstant ist. Wo ist mein Denkfehler?

Du hast keinen Denkfehler. Man kann es schlichtweg nicht so annehmen.

Allgemein gilt: a(t) = d2s(t)/dt2

und nur im Fall einer konstanten Beschleunigung über die Zeit, ist a/2*t2 Lösung dieser Gleichung.

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Antwort mit KI erzeugt

Um zu berechnen, wie lange es dauert, bis sich zwei Astronauten im Weltall nur aufgrund ihrer gegenseitigen Anziehungskräfte berühren, können wir das Gravitationsgesetz von Newton verwenden. Das Gravitationsgesetz lautet wie folgt:

Gravitationskraft

\( F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \)

wo \(F\) die Anziehungskraft zwischen den beiden Massen ist, \(G\) die Gravitationskonstante (\(6,674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}\)), \(m_1\) und \(m_2\) die Massen der beiden Körper (in diesem Fall der Astronauten) und \(r\) der Abstand zwischen den Mittelpunkten der Massen.

Die Masse beider Astronauten ist gegeben mit \(150\, \text{kg}\), und der anfängliche Abstand zwischen ihnen ist \(10\, \text{m}\).

Als Nächstes müssten wir die Gesamtenergie des Systems berücksichtigen. Da anfangs keine äußeren Kräfte auf das System wirken und die Astronauten sich anfänglich in Ruhe befinden, ist die anfängliche kinetische Energie null. Die Veränderung der potenziellen Energie, da sie sich aufeinander zu bewegen, wird in kinetische Energie umgewandelt.

Da die Anziehungskraft und deshalb die Beschleunigung, mit der sie aufeinander zu fliegen, sich mit der Distanz ändert, bietet sich die Verwendung einer integrierten Form der Bewegungsgleichungen an, um eine Lösung zu finden. Weil die Kraft, die auf jeden Astronauten wirkt, und die Beschleunigung, die sie erfahren, zeitlich variieren, benötigen wir eine Methode, diese Veränderung über die Zeit hinweg zu modellieren. Eine einfache analytische Lösung ist hier nicht leicht zu finden, weil die Beschleunigung abhängig von der sich ändernden Distanz zwischen den Astronauten variiert.

Eine Möglichkeit, dies zu umgehen, ist die Nutzung der Erhaltung der Energie. Die anfängliche potenzielle Energie des Systems wird komplett in kinetische Energie umgewandelt, wenn sich die Astronauten berühren. Jedoch, da die Beschleunigung stetig ändert, wie sie sich nähern, variiert die Geschwindigkeit nicht linear, was die Berechnung der Zeit schwierig macht.

Um die Zeit zu berechnen, die benötigt wird, bis sie sich berühren, ist eine numerische Integration oder die Lösung einer Differentialgleichung notwendig, welche beginnt mit der Kräftebilanz unter Einbeziehung der Gravitationskraft als Antriebskraft. Die direkte Anwendung des zweiten Newton'schen Gesetzes \(F=ma\) oder eine Energiebetrachtung kann den Einstieg in die Problemlösung bieten, aber die exakte Umsetzung dieser Lösung erfordert fortgeschrittene Methoden der Physik und Mathematik, die hier nicht ohne weiteres abzuleiten sind.

Eine vereinfachte Schätzung oder Modellierung mithilfe einer Computersimulation könnte eine praktikable Alternative bieten, um die tatsächliche Zeit zu berechnen. Solche Berechnungen gehen jedoch über eine einfache analytische Lösung hinaus und erfordern ein tiefgehendes Verständnis von Differentialgleichungen und numerischen Lösungsmethoden.
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