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Aufgabenstellung:

Um den Widerstand eines langen und sehr dünnen Drahtes zu messen, wird der Draht mit einem Amperemeter (I) in Reihe geschaltet und mit einem Voltmeter (U) Parallel geschaltet (Voltmeter parallel nur zum Draht). Die elektrische Widerstände des Amperemeters (0,220 ohm) und des Voltmeters (75,4 kohm) sind konstant. Bei einer bestimmten von außen angelegten Spannung liest man ab U= 14,3 V und I = 266 mA.

a) Zeichnen Sie die Schaltskizze.

b) Berechnen Sie R=U/I. Runden Sie auf die richtige Zahl gültiger Ziffern. Erklären Sie, weshalb R nicht ganz exakt der Widerstand des Drahtes sein kann. Welcher Wert, U oder I,ist exakt?

c) Berechnen Sie die am Amperemeter abfallende Spannung Ua.

d) Berechnen Sie die durch das Voltmeter fließende Stromstärke Iu.

e) Ermitteln Sie mit diesen Zusatzergebnissen den exakten Drahtwiderstand. Beurteilen Sie ob der exakte (richtig gerundete Werte) Wert den Aufwand der Rechnungen c - d - e lohnt.

f) Berechnen Sie die äußere Spannungen an der Schaltung als äußere Spannung an der Schaltung / Strom, der in die Schaltung hinein fließt.

g) Berechnen Sie die gesamte elektrische Leistung und in % die drei elektrischen Leistungen im Draht, im Amperemeter und im Voltmeter.

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Antwort mit KI erzeugt

a) Zeichnen der Schaltskizze:

Da hier keine Bilder übertragen werden können, beschreibe ich die Konfiguration: Ein langer, dünner Draht ist in Reihe mit einem Amperemeter geschaltet. Parallel zum Draht (und somit nicht zum Amperemeter) ist ein Voltmeter angeschlossen.

b) Berechnen von \(R = \frac{U}{I}\):

Mit \(U = 14,3\,V\) und \(I = 266\,mA = 0,266\,A\) können wir den Widerstand \(R\) berechnen:

\(R = \frac{U}{I} = \frac{14,3\,V}{0,266\,A} = 53,759\, \Omega\)

Da aber der Widerstand des Amperemeters (0,220 \(\Omega\)) auch in Reihe mit dem Draht liegt, ist der gemessene Widerstand nicht genau der Widerstand des Drahtes alleine, sondern die Summe aus dem Widerstand des Drahtes und des Amperemeters. Der exakte Wert ist die Spannung \(U\), weil diese direkt am Draht und unabhängig von der Messung des Stroms ist.

c) Berechnen der am Amperemeter abfallenden Spannung \(U_a\):

Die Spannung am Amperemeter kann mit \(U_a = I \cdot R_{\text{Amperemeter}}\) berechnet werden, mit \(I = 0,266\,A\) und \(R_{\text{Amperemeter}} = 0,220\, \Omega\):

\(U_a = 0,266\,A \cdot 0,220\, \Omega = 0,05852\,V\)

d) Berechnen der durch das Voltmeter fließenden Stromstärke \(I_u\):

Der Strom durch das Voltmeter kann mit \(I_u = \frac{U}{R_{\text{Voltmeter}}}\) berechnet werden, mit \(U = 14,3\,V\) und \(R_{\text{Voltmeter}} = 75400\, \Omega\):

\(I_u = \frac{14,3\,V}{75400\,\Omega} = 0,0001897\,A = 189,7\,\mu A\)

e) Ermittlung des exakten Drahtwiderstandes:

Um den genauen Widerstand des Drahtes zu bestimmen, müssen wir von der gemessenen Spannung \(U\) die am Amperemeter abfallende Spannung \(U_a\) subtrahieren, um die Spannung über den Draht \(U_{\text{Draht}}\) zu erhalten und dann \(R_{\text{Draht}} = \frac{U_{\text{Draht}}}{I}\) berechnen:

\(U_{\text{Draht}} = U - U_a = 14,3\,V - 0,05852\,V = 14,24148\,V\)

Da der durch das Voltmeter fließende Strom vernachlässigbar klein ist, verwenden wir den gesamten Strom \(I = 0,266\,A\):

\(R_{\text{Draht}} = \frac{14,24148\,V}{0,266\,A} = 53,54\,\Omega\)

Dies zeigt geringe Abweichungen von der initialen Berechnung, was den zusätzlichen Rechenaufwand nur minimal rechtfertigt.

f) Berechnen der äußeren Spannung an der Schaltung:

Die äußere Spannung \(U_{\text{extern}}\) ist die Summe aus der Spannung am Draht und am Amperemeter:

\(U_{\text{extern}} = U + U_a = 14,3\,V + 0,05852\,V = 14,35852\,V\)

Der Nenner "Strom, der in die Schaltung hinein fließt" führt hier zu Verwirrung, da die Berechnung der äußeren Spannung bereits abgeschlossen wurde.

g) Berechnen der gesamten elektrischen Leistung und der drei elektrischen Leistungen in %:

Die gesamte elektrische Leistung \(P_{\text{gesamt}}\) kann mit \(P = U \cdot I\) berechnet werden:

\(P_{\text{gesamt}} = 14,3\,V \cdot 0,266\,A = 3,8058\,W\)

Die Leistung im Draht \(P_{\text{Draht}}\), im Amperemeter \(P_{\text{Amperemeter}}\), und im Voltmeter \(P_{\text{Voltmeter}}\):

\(P_{\text{Draht}} = U_{\text{Draht}} \cdot I = 14,24148\,V \cdot 0,266\,A = 3,7862\,W\)

\(P_{\text{Amperemeter}} = U_a \cdot I = 0,05852\,V \cdot 0,266\,A = 0,01556\,W\)

\(P_{\text{Voltmeter}} = U \cdot I_u = 14,3\,V \cdot 189,7\,\mu A = 2,712\,mW\)

Prozentualer Anteil der Leistungen:

- \(P_{\text{Draht}}\) in %: \(\frac{3,7862\,W}{3,8058\,W} \times 100\% = 99,48\%\)
- \(P_{\text{Amperemeter}}\) in %: \(\frac{0,01556\,W}{3,8058\,W} \times 100\% = 0,41\%\)
- \(P_{\text{Voltmeter}}\) in %: \(\frac{2,712\,mW}{3,8058\,W} \times 100\% = 0,071\%\)

Diese Berechnungen zeigen, dass der größte Teil der Leistung im Draht verbraucht wird, was in Übereinstimmung mit physikalischen Erwartungen ist.
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