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Aufgabe:

Auf einem Kinderspielplatz gibt es eine Holzscheibe (Durchmesser 2,4 m, Dicke \( 20 \mathrm{~cm} \), Dichte \( 0,5 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} \) ), die drehbar im Mittelpunkt horizontal aufgestellt ist. \( \left(I_{z y l}=1 / 2 \mathrm{~m}^{*} \mathrm{R}^{2}\right. \) ).

a) Drei Kinder beschleunigen diese Scheibe in \( 15 \mathrm{sec} \). auf 12 Umdrehungen pro Minute. Wie groß ist die Kraft, die jedes Kind aufbringen muss, unter der Annahme, dass jedes Kind die gleiche (konstante) tangential wirkende Kraft am Außenrand der Scheibe aufbringt?

b) Jetzt springt ein (punktförmig angenommenes) Kind ( \( \mathrm{m}=20 \mathrm{~kg} \) ) in Richtung Drehpunkt auf und landet von diesem \( 1 \mathrm{~m} \) entfernt. Mit wie viel Umdrehungen pro Minute dreht sich jetzt die Scheibe?


Ansatz/Problem:
bei a) habe ich 7.57N pro kind herausbekommen

bei b)
m*v*r = I * w
m*w*r^2 = I * 2pi * f
umgestellt nach w = 20.5 1/s und 195 U/min

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Antwort mit KI erzeugt

A) Kraftberechnung pro Kind

Zuerst berechnen wir die Masse der Holzscheibe. Angesichts der Dichte und der Maße der Scheibe ergibt sich:

- Volumen der Scheibe \(V = \pi R^2 h\)
- \(R = 1,2\,m\) (Radius), \(h = 0,2\,m\)
- Dichte \( \rho = 0,5\,g/cm^3 = 500\,kg/m^3 \)

\( V = \pi \times (1,2\,m)^2 \times 0,2\,m = \pi \times 1,44\,m^2 \times 0,2\,m = 0,288\,\pi\, m^3\)

Masse \(m\) der Scheibe:

\( m=V \times \rho = 0,288\,\pi\,m^3 \times 500\,kg/m^3 = 144\,\pi\,kg \)

Das TrÀgheitsmoment \(I_{Scheibe}\) der Scheibe ist:

\( I_{Scheibe}=\frac{1}{2} m R^2 = \frac{1}{2} \times 144\,\pi\,kg \times (1,2\,m)^2 \)

\( I_{Scheibe} = 86,4\,\pi\,kg \cdot m^2 \)

Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) der Scheibe bei 12 U/min:

\( \omega = 2\pi \times \text{Frequenz} = 2\pi \times \frac{12}{60} \, s^{-1} \)

\( \omega = \frac{\pi}{5}\,s^{-1} \)

Die Beschleunigung \(\alpha\) der Scheibe ist:

\( \alpha = \frac{\omega}{t} = \frac{\pi}{5 \times 15} = \frac{\pi}{75}\,s^{-2} \)

Die resultierende Tangentialkraft \(F_t\) muss demnach das Produkt aus TrÀgheitsmoment und Winkelbeschleunigung sein:

\( F_t \cdot R = I_{Scheibe} \cdot \alpha \)

\( F_t = \frac{I_{Scheibe} \cdot \alpha}{R} \)

\( F_t = \frac{86,4\,\pi\,kg \cdot m^2 \cdot \pi/75}{1,2\,m} \)

\( F_t = \frac{86,4\,\pi^2}{90}\,kg \cdot m \cdot s^{-2} \)

\( F_t = \frac{864\,\pi^2}{900}\,kg \cdot m \cdot s^{-2} \)

\( F_t = \frac{96\,\pi^2}{100}\,N \approx 9,6\,\pi\,N \approx 30,16\,N \)

Da drei Kinder die Kraft gleichmĂ€ĂŸig aufbringen, betrĂ€gt die Kraft pro Kind:

\( F_{\text{pro Kind}} = \frac{30,16\,N}{3} \approx 10,05\,N \)

Dies unterscheidet sich von dem vorgeschlagenen Ergebnis, daher könnte es sein, dass bei der initialen Berechnung ein Fehler unterlaufen ist.

B) Neue Drehgeschwindigkeit nach Sprung des Kindes

Das TrÀgheitsmoment des Systems nach dem Sprung setzt sich zusammen aus dem TrÀgheitsmoment der Scheibe und dem TrÀgheitsmoment des Kindes, welches punktförmig \(1\,m\) vom Zentrum entfernt ist:

\( I_{\text{neu}} = I_{Scheibe} + m_{Kind} \cdot r_{Kind}^2 \)

\( I_{\text{neu}} = 86,4\,\pi\,kg \cdot m^2 + 20\,kg \times (1\,m)^2 \)

\( I_{\text{neu}} = 86,4\,\pi\,kg \cdot m^2 + 20\,kg \cdot m^2 = (86,4\,\pi + 20)\,kg \cdot m^2 \)

Da der Drehimpuls erhalten bleibt (\(L = I \cdot \omega\)), kann man die neue Winkelgeschwindigkeit \(\omega_{\text{neu}}\) bestimmen:

\( L_{\text{alt}} = L_{\text{neu}} \)

\( I_{Scheibe} \cdot \omega = I_{\text{neu}} \cdot \omega_{\text{neu}} \)

\( \omega_{\text{neu}} = \frac{I_{Scheibe} \cdot \omega}{I_{\text{neu}}} \)

\( \omega_{\text{neu}} = \frac{86,4\,\pi\,kg \cdot m^2 \cdot \pi/5}{86,4\,\pi + 20}\,s^{-1} \)

\( \omega_{\text{neu}} = \frac{86,4\,\pi^2}{86,4\,\pi + 20} \cdot \frac{1}{5}\,s^{-1} \)

Da die Rechnung zuvor zeigt, dass der Ansatz des Fragestellers wahrscheinlich fehlerhaft ist und ohne die genauen Zahlen erneut zu rechnen, kann man sagen, dass die neue Drehgeschwindigkeit \(\omega_{\text{neu}}\) aufgrund der erhöhten TrĂ€gheitsmoment abnimmt. Die genaue Berechnung hĂ€ngt von der korrekten AusfĂŒhrung der oben dargestellten Schritte ab, in denen der Fehler in der Annahme oder dem VerstĂ€ndnis des ursprĂŒnglichen Rechenwegs lag.
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