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Superposition und Fall mit Anfangsgeschwindigkeit
Die Bewegung eines Objekts unter dem Einfluss der Schwerkraft, mit einer gegebenen Anfangsgeschwindigkeit, die eine vertikale und horizontale Komponente hat (wie in deinem Beispiel der Ball), wird durch die Gesetze des schiefen Wurfs beschrieben. Um die Zeit zu berechnen, die der Ball benötigt, um den Boden zu erreichen, benötigen wir hauptsächlich die vertikale Bewegungskomponente, also die Bewegung in y-Richtung.
Für die vertikale Bewegung gilt Folgendes:
- Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtung: \( v_{y0} = 5,7 \, \text{m/s} \)
- Beschleunigung durch Schwerkraft: \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \) (nach unten gerichtet)
Eine allgemeine Gleichung, die die vertikale Position eines Objekts \((y)\) als Funktion der Zeit \((t)\) beschreibt, ist:
\( y(t) = y_0 + v_{y0}t - \frac{1}{2}gt^2 \)
Da du den Ball vom Ende des Daches fallen lässt, nehmen wir \(y_0\) als initial Höhe \(0\) an (oder betrachten die Bewegung ab dem Moment, wo der Ball die Kante verlässt). Weil wir wissen wollen, wann der Ball den Boden erreicht, setzen wir \(y(t) = 0\) (das ist eine typische Vorgehensweise, wenn die Endposition bekannt ist).
Also erhält man:
\( 0 = v_{y0} t - \frac{1}{2} g t^2 \)
Da die Anfangsgeschwindigkeit \( v_{y0} = 5,7 \, \text{m/s} \), lässt sich die Gleichung umstellen zu:
\( 0 = 5,7 t - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot t^2 \)
Vereinfacht erhält man:
\( 0 = 5,7t - 4,905t^2 \)
Um diese quadratische Gleichung zu lösen, teilt man alles durch \(4,905\), um einen Koeffizienten von \(t^2\) zu 1 zu machen:
\( 0 = t \cdot \left( \frac{5,7}{4,905} \right) - t^2 \)
Was umgeformt werden kann zu:
\( t^2 - \left( \frac{5,7}{4,905} \right) \cdot t = 0 \)
Wir suchen die Lösung dieser Gleichung, welche die Zeit darstellt, die der Ball zum Fallen benötigt. Da diese Gleichung nach \(t\) umgestellt werden muss und das \(t\) sowohl im linearen als auch im quadratischen Term vorkommt, kann es händisch etwas herausfordernd sein, allerdings sehen wir, dass die Lösung dieser quadratischen Gleichung die Zeit \(t\) liefert, die der Ball benötigt, um den Boden zu erreichen.
Die vereinfachte rechnerische Methode würde einen quadratischen Lösungsansatz erfordern, wobei die Lösung für \(t\) direkt aus der Anwendung der quadratischen Formel folgen würde. Diese Gleichung scheint jedoch durch Faktorisierung lösbar zu sein, da sie bereits in einer Form vorliegt, die nahelegt, dass \(t\) ein gemeinsamer Faktor ist. Jedoch habe ich den Lösungsweg übersehen, der in diesem Fall korrekt wäre, um \(t\) direkt zu isolieren. Der korrekte Ansatz hier wäre, zu erkennen, dass diese Gleichung sich direkt nach \(t\) umstellen lässt, um die Zeit zu finden, und dann die Anfangsgeschwindigkeit und die Erdbeschleunigung direkt einzusetzen. Der direkte Weg, die Zeit \(t\) zu berechnen, sieht in diesem Fall so aus:
\( 0 = 5,7t - 4,905t^2 \Longrightarrow t = \frac{5,7}{4,905} \)
Führen wir den korrekten Ansatz zur Berechnung der Fallzeit direkt durch.
Tatsächlicher Lösungsansatz:
Für die vertikale Bewegung unter Einfluss der Gravitation mit einer Anfangsgeschwindigkeit \( v_{y0} \), ist die Zeit \( t \) gegeben durch:
\( t = \frac{v_{y0}}{g} \)
Setzen wir unsere Werte ein:
\( t = \frac{5,7 \, \text{m/s}}{9,81 \, \text{m/s}^2} \)
Berechnen wir dies:
\( t ≈ \frac{5,7}{9,81} \)
\( t ≈ 0,581 \, \text{s} \)
Daher benötigt der Ball ungefähr 0,581 Sekunden, um den Boden zu erreichen, basierend auf der vertikalen Komponente seiner Anfangsgeschwindigkeit und unter der Annahme, dass der Startpunkt (das Ende des Daches) als Höhe Null betrachtet wird, was bedeutet, dass die tatsächliche Fallhöhe oder Endhöhe in der Rechnung nicht direkt eingeht und hier der Berechnungsmethode ein Fehler unterlaufen ist. In realistischen Szenarien müsste die tatsächliche Höhe des Daches oder die Differenz zur Endposition berücksichtigt werden, um die korrekte Fallzeit zu bestimmen; der dargestellte Rechenweg vereinfacht das Szenario erheblich und vernachlässigt die Anfangshöhe.
