Planck'sches Strahlungsgesetz umformen

Question

Aufgabe:

Es geht um das Plank'sche Strahlungsgesetz


Problem/Ansatz:

Ich habe online 2 Darstellungsformen für die Energiedichte u gefunden. Einmal in Abhängigkeit der Frequenz und einmal in Abhängigkeit der Wellenlänge

(1)  \( \frac{8\pi}{\lambda^5}\cdot \frac{h c}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}}-1} \)

(2)  \( \frac{8 \pi h f^3}{c^3}\cdot \frac{1}{e^{ \frac{hf}{kT}}-1} \)

Man sollte meinen dass man die beiden Formeln in einander umformen kann, wenn man den Zusammenhang λ =c/f benutzt. Bin ich zu blöd die Gleichung umzuformen oder passt das irgendwie nicht?

$$ \frac{8\pi}{\lambda^5}\cdot \frac{h c}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}}-1} \overset{\lambda = \frac{c}{f}}{=} \frac{8\pi}{(\frac{c}{f})^5}\cdot \frac{h c}{e^{\left( \frac{hc}{(\frac{c}{f}) k T} \right)}  -1} = \frac{8\pi f^5}{c^4}\cdot \frac{h} {\exp\left( \frac{hf}{k T} \right) -1} \neq \frac{8 \pi h f^3}{c^3}\cdot \frac{1}{e^{ \frac{hf}{kT}}-1}  $$

Außerdem steht auf unseren Vorlesungsfolien \(  u(f, T) = \frac{4 \pi}{c} \cdot I(f, T)  \)  im Internet lese ich aber überall \(  u(f, T) = \frac{4}{c} \cdot I(f, T)  \)  kann mir jemand erklären was es mit dem pi auf sich hat und warum es manchmal in der Formel nicht berücksichtigt wird?


Danke euch im Voraus!

Comments

(1) und (2) können schon von den Einheiten her nicht gleich sein:

$$\frac{c}{\lambda^5} \neq \frac{f^3}{c^3}$$

Answer 1

Bin ich zu blöd die Gleichung umzuformen oder passt das irgendwie nicht?

Du darfst nicht einfach nur λ durch c / f ersetzen, weil es sich bei der spektralen Strahlungsintensität bzw. der spektralen Strahlungsenergiedichte um eine auf ein Wellenlängenintervall bezogene Größe handelt, d.h. dass das Wellenlängenintervall dλ in ein entsprechendes Frequenzintervall df durch Ableitung nach df umgerechnet werden muss:

λ = c * f ^-1 ⇒ dλ / df = - c * f ^-2 ⇒ dλ = - c *  f ^-2 df

Weil zur Berechnung der Intensität bzw. der Energiedichte nur die Beträge der Intervalle relevant sind, darf das Minus weggelassen werden.

Wenn du jetzt in der Formel

dI (λ) = I_s (λ) * dλ = 2 * π * h * c² * λ^-5 * ((e ^{(h * c / λ * k * T)}) - 1)^-1 * dλ

λ durch c * f ^-1 und dλ durch (c * f ^-2) df ersetzt, solltest du auf

I_s (f) = 2 * π * h * f³ * c ^-2 * (e^{(h * f / k * T)} - 1) ^-1

kommen.

Und weil U_s = 4 * c ^-1 * I_S ist, sollte sich für die spektrale Strahlungsenergiedichte in der Frequenzdarstellung die von dir angegebene Formel (2) ergeben.

... kann mir jemand erklären was es mit dem pi auf sich hat und warum es manchmal in der Formel nicht berücksichtigt wird?

Beide Formeln enthalten ein π. Bei der ersten ist es separat aufgeführt, weil es nicht in der Formel für die spezifische spektrale Strahlungsintensität enthalten ist, bei der zweiten ist es nicht erkennbar, weil es in der Formel für die spektrale Strahlungsintensität enthalten ist. Damit solche Fragen gar nicht erst aufkommen, sollten für unterschiedliche Größen auch unterschiedliche Formelzeichen verwendet werden, z.B. B_s und I_s.

Comments

Wie kommt es, dass sich bei I(f) und I(λ) die Einheiten unterscheiden?

c² * λ^-5 versus f³ * c^-2

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I(f) bzw. I(λ) einerseits und u(f) bzw. u(λ) andererseits haben unterschiedliche Einheiten wegen der unterschiedlichen Bezugsgrößen Wellenlängenintervall mit einer Längeneinheit und Frequenzintervall mit der Einheit Hz oder s^-1.

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Interessant, danke!

Kann man schon verstehen, dass das verwirrend ist.

Mit dem Pi genauso.

Gibts auch bei der Unschärferelation: Mal mit, mal ohne Pi.