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Aufgabe:

Zeige, dass

\( G^{0}{ }_{0}=-3\left[\frac{1}{c^{2}}\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^{2}+\frac{\kappa}{a^{2}}\right] \)

wobei G der Einstein Tensor in der FLRW metrik ist.


Problem/Ansatz:

MMn müsste es reichen, \(G_{0,0}\) zu berechnen, und das mit der Metrikg \(g^{0,0}\) zu multiplizieren, um \(G^{0}{ }_{0} \) zu bekommen; Daher:

\( G_{\mu \nu}:=R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} R g_{\mu \nu} \)

wobei

\( R_{00}=-3 \frac{\ddot{a}}{a} \)

und der Ricci-Skalar

\( R=6\left(\frac{1}{c^{2}}\left(\frac{\ddot{a}}{a}+\frac{\dot{a}^{2}}{a^{2}}\right)+\frac{\kappa}{a^{2}}\right) \)

ist, sowie die Metrik g


\( \mathrm{d} s^{2}=c^{2} \mathrm{~d} t^{2}-a(t)^{2} R_{\mathrm{C}}^{2}\left(\frac{\mathrm{d} x^{2}}{1-k x^{2}}+x^{2} \mathrm{~d} \Omega^{2}\right) \)

(beide so im Buch gegeben)


d.h

\(G_{0 0}\) = \(3 \frac{\ddot{a}}{a}  - \frac{1}{2}\) ( \( 6\left(\frac{1}{c^{2}}\left(\frac{\ddot{a}}{a}+\frac{\dot{a}^{2}}{a^{2}}\right)+\frac{\kappa}{a^{2}}\right) \)) \(\frac{1}{c^2}\),

wobei das \(\frac{1}{c^2}\) das inverse der Metrik bei 0,0 ist, die aufgrund des obig angegebenen Line-Elements als ersten Eintrag bzw. bei 0,0 -c^2 hat.


Leider komme ich beim besten Willen auf kein Ergebnis, dass mir auch mit \(g^{0,0}\) irgendetwas wie das in der Angabe gibt. Was mache ich falsch?

Avatar von

Ich hatte einen Fehler in der Metrik, es ist -1/c^2. Dann kürzt sich alles schön weg. Mit g^{0,0} multiplizieren reicht aus

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