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1. Die zwei größten Wellenlängen der Lyman-Serie
Die Lyman-Serie im Wasserstoffspektrum beschreibt die elektromagnetische Strahlung, die durch den Übergang von Elektronen auf das niedrigste Energieniveau (\(n_1 = 1\)) emittiert wird. Die Wellenlängen dieser Serie können durch die Rydberg-Formel für Wasserstoff berechnet werden:
\(
\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)
\)
Dabei ist \(\lambda\) die Wellenlänge der ausgesandten Strahlung, \(R\) die Rydberg-Konstante (\(1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1}\)), \(n_1\) das niedrigste Energienniveau der Serie (\(n_1=1\) für die Lyman-Serie) und \(n_2\) das Energienniveau, von dem das Elektron auf das Niveau \(n_1\) zurückfällt (\(n_2 > n_1\)).
Die zwei größten Wellenlängen erhalten wir für die Übergänge \(n_2 = 2\) und \(n_2 = 3\), da dies die kleinsten Werte für \(n_2\) sind, die größer als \(n_1\) sind.
-
Für \(n_2 = 2\):
\(
\frac{1}{\lambda_1} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 1.097 \times 10^7 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = 1.097 \times 10^7 \times \frac{3}{4}
\)
\(
\frac{1}{\lambda_1} = 8.2275 \times 10^6 \, \text{m}^{-1}
\)
\(
\lambda_1 = \frac{1}{8.2275 \times 10^6} = 1.215 \times 10^{-7} \, \text{m} = 121.5 \, \text{nm}
\)
-
Für \(n_2 = 3\):
\(
\frac{1}{\lambda_2} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 1.097 \times 10^7 \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = 1.097 \times 10^7 \times \frac{8}{9}
\)
\(
\frac{1}{\lambda_2} = 9.741 \times 10^6 \, \text{m}^{-1}
\)
\(
\lambda_2 = \frac{1}{9.741 \times 10^6} = 1.027 \times 10^{-7} \, \text{m} = 102.7 \, \text{nm}
\)
2. Die höchsten Frequenzen der Balmer- und der Lyman-Serie
Die höchste Frequenz einer Serie (\(v\)) entspricht dem Grenzübergang \(n_2 \rightarrow \infty\), wobei sich die Energieunterschiede zwischen den Niveaus minimieren und die ausgesandte Strahlung ins Unendliche strebt. Die Energie eines Photons kann auch durch die Beziehung \(E = h \cdot v\) ausgedrückt werden, wobei \(h\) das Planck'sche Wirkungsquantum (\(6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js}\)) ist.
-
Balmer-Serie (\(n_1 = 2\))
\(
\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \times \frac{1}{4}
\)
\(
\lambda = \frac{4}{R}
\)
Um die Frequenz zu finden, nutzen wir \(c = \lambda \cdot v\), wobei \(c\) die Lichtgeschwindigkeit (\(3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)) ist.
\(
v = \frac{c}{\lambda} = \frac{c \cdot R}{4}
\)
\(
v_{\text{Balmer}} = \frac{3.00 \times 10^8 \cdot 1.097 \times 10^7}{4} \approx 8.228 \times 10^{14} \, \text{Hz}
\)
-
Lyman-Serie (\(n_1 = 1\))
\(
\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R
\)
\(
\lambda = \frac{1}{R}
\)
\(
v = \frac{c}{\lambda} = c \cdot R
\)
\(
v_{\text{Lyman}} = 3.00 \times 10^8 \cdot 1.097 \times 10^7 \approx 3.291 \times 10^{15} \, \text{Hz}
\)
Zusammenfassend sind die zwei größten Wellenlängen der Lyman-Serie \(121.5 \, \text{nm}\) und \(102.7 \, \text{nm}\), während die höchsten Frequenzen für die Balmer-Serie \(8.228 \times 10^{14} \, \text{Hz}\) und für die Lyman-Serie \(3.291 \times 10^{15} \, \text{Hz}\) betragen.
