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Aufgabe:

Eine kreisförmige Fläche mit Radius \( r=0,4 \mathrm{~m} \) liegt in der xy-Ebene eines Koordinatensystems.

Berechnen Sie den magnetische Fluss \( \Psi_{B} \) durch diese Fläche aufgrund eines homogenen Magnetfeldes \( B=1,5 \) T für den Fall (i) \( \vec{B} \) in \( +\mathrm{z} \) Richtung, für den Fall (ii) \( \vec{B} \) in einem Winkel von \( 45^{\circ} \) zur \( +\mathrm{z} \) Richtung sowie für den Fall (iii) \( \vec{B} \) in \( +\mathrm{y} \) Richtung.


Ansatz/Problem:

Muss man hier mit dem Biot-Savart-Gesetz arbeiten?

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Antwort mit KI erzeugt

Berechnung des magnetischen Flusses

Der magnetische Fluss \( \Psi_{B} \) durch eine Fläche ist definiert als \( \Psi_{B} = \vec{B} \cdot \vec{A} \), wobei \( \vec{A} \) der Flächenvektor ist und \( \cdot \) das Skalarprodukt darstellt. Der Betrag des Flächenvektors \( \vec{A} \) gibt die Größe der Fläche an und seine Richtung steht normal (senkrecht) auf der Fläche. Bei einer kreisförmigen Fläche ist die Berechnung von \( \vec{A} \) relativ einfach, da die Fläche \( A = \pi r^2 \) beträgt und die Richtung des Flächenvektors normal zur Fläche ist; für eine Fläche in der xy-Ebene zeigt \( \vec{A} \) in z-Richtung.

Das Biot-Savart-Gesetz ist für die Berechnung des magnetischen Flusses nicht notwendig, da es in erster Linie zur Bestimmung des Magnetfeldes \( \vec{B} \) aufgrund eines stromdurchflossenen Leiters verwendet wird.

Fall (i) \( \vec{B} \) in \( +z \) Richtung

Da das Magnetfeld \( \vec{B} \) in die gleiche Richtung zeigt wie der Flächenvektor \( \vec{A} \) (beide in z-Richtung), ist der Winkel zwischen \( \vec{B} \) und \( \vec{A} \) \( 0^{\circ} \), und der kosinus dieses Winkels ist \( \cos(0^{\circ}) = 1 \).

Die Fläche \( A \) des Kreises berechnet sich zu:
\( A = \pi r^2 = \pi (0.4 \text{ m})^2 = 0.16 \pi \text{ m}^2 \)

Der magnetische Fluss \( \Psi_{B} \) ist daher:
\( \Psi_{B} = B \cdot A = 1.5 \text{ T} \cdot 0.16 \pi \text{ m}^2 = 0.24 \pi \text{ Tm}^2 \)

Fall (ii) \( \vec{B} \) in einem Winkel von \( 45^{\circ} \) zur \( +z \) Richtung

In diesem Fall bildet das Magnetfeld einen Winkel von \( 45^{\circ} \) mit der Normalen (z-Richtung) der Fläche. Daher beträgt der Kosinus dieses Winkels \( \cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Der magnetische Fluss \( \Psi_{B} \) berechnet sich zu:
\( \Psi_{B} = B \cdot A \cdot \cos(45^{\circ}) = 1.5 \text{ T} \cdot 0.16 \pi \text{ m}^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \Psi_{B} = 0.12\sqrt{2} \pi \text{ Tm}^2 \)

Fall (iii) \( \vec{B} \) in \( +y \) Richtung

Wenn \( \vec{B} \) in die \( +y \) Richtung zeigt, steht es senkrecht zur Normalen der Fläche (z-Richtung), der Winkel zwischen \( \vec{B} \) und \( \vec{A} \) ist daher \( 90^{\circ} \), und der kosinus dieses Winkels ist \( \cos(90^{\circ}) = 0 \).

Der magnetische Fluss \( \Psi_{B} \) ist in diesem Fall:
\( \Psi_{B} = B \cdot A \cdot \cos(90^{\circ}) = 1.5 \text{ T} \cdot 0.16 \pi \text{ m}^2 \cdot 0 = 0 \text{ Tm}^2 \)

Also ist der magnetische Fluss durch die Fläche im dritten Fall null, da das Magnetfeld senkrecht zur Flächennormalen steht und damit keinen Beitrag zum Fluss liefert.
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