Moin, beschäftige mich zurzeit mit einer Aufgabe zu Potentialtöpfen. In diesem Bespiel haben wir ein Teilchen im Potentialtopf
\( V(x)=\left\{\begin{array}{ll} V_{0} & \text { für } x<-L / 2 \\ 0 & \text { für }-L / 2<x<L / 2 \\ V_{0} & \text { für } L / 2<x \end{array}\right. \)
mit \( V_{0}>0 \) und \( L>0 \).
Ich würde hier normal vorgehe wie üblich. Der Potentialkasten hat ja die Länge \( L \), wobei das eine Ende des Potentialkastens bei \( x=-\frac{L}{2} \) und das andere Ende bei \( x=\frac{L}{2} \) liegt. Im Inneren ist das Potential Null und außerhalb ist es konstant \( V_{0} \).
Die Energie \( W>0 \) des Teilchens kann nun entweder
größer ( gebundener Zustand) als die Potentialbarriere \( W>V_{0} \) oder kleiner \( W<V_{0} \) (ungebundener Zustand) sein.
Hierbei geht es um das Bestimmen der Lösungen der S-Gleichungen, für drei verschiedene Anfangsbedingungen die Lösung der Hamiltonschen Gleichungen in einem \( x-p \) -Diagramm (d.h., im Phasenraum) zu plotten. Hier komme ich nicht weiter, habt ihr eine Idee, wie ich das machen muss bzw. wie das im xp Diagramm aussehen würde?
Die Lösungen der Hamiltonschen Gleichungen für diesen Fall sind:
Für das Innere des Potentialtopfes:
\( \psi_{1}(x)=A \cos (\alpha x)+B \sin (\alpha x) \)
Bereich rechtes des Potentialtopfes:
\( \psi_{2}(x)=C \mathrm{e}^{-\beta x} \)
Bereich links des Potentialtopfes:
\( \psi_{3}(x)=G \mathrm{e}^{\beta x} \)
Siehe Bild (müsste das so aussehen?)
Und noch kurz zu der weiteren Aufgabe eine Frage:
Man soll diejenigen Energiewerte von gebundenen Zuständen \( \left(0<E<V_{0}\right) \) bestimmen, die durch die Bohr(-Wilson)-Sommerfeld-Bedingung
\( \frac{1}{2 \pi} \oint p d x=n \hbar, \quad n \in \mathbb{N} \)
ausgewählt sind. (Der Kreis im Integralzeichen soll anzeigen, dass die Integration über eine Periode auszuführen ist.)
Meine Lösung wäre
\( E_{n}=E_{k i n}+E_{p o t}=\frac{1}{2} E_{p o t}=-\frac{m e^{4}}{e \epsilon_{0}^{2} n^{2} h^{2}} \)
mit Impuls:
\( E_{n}=-\frac{m e^{4}}{e \epsilon_{0}^{2}\left(p_{n} 2 L\right)^{2}} \)
Wäre das richtig?
