Eigenfunktion, Aufenthaltswahrscheinlichkeit diskutieren

Question

Aufgabe zu QM:

\( \phi_{n} \) seien die normierten Eigenfunktionen des Hamiltonoperators des harmonischen Oszillators und \( E_{n} \) die zugehörigen Eigenwerte, siehe hierbei folgende Gleichung

\( \phi_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{n}} \frac{1}{\sqrt{n-1}} \cdots \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{a}^{\dagger}\right)^{n} \phi_{0}(x) \)
\( =\frac{1}{\sqrt{n !}}\left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{1 / 4} \frac{1}{\sqrt{2^{n}}}\left(\sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x-\sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}} \frac{d}{d x}\right)^{n} e^{-\frac{m}{2 \hbar} x^{2}} \)
\( =\frac{1}{\sqrt{n ! 2^{n}}}\left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{1 / 4} H_{n}\left(\sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x\right) e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^{2}}, \quad E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega . \)

Hierbei muss ich für die Wellenfunktion

\( \psi(x, t)=A_{0} e^{-i E_{0} t / \hbar} \phi_{0}(x)+A_{1} e^{-i E_{1} t / h} \phi_{1}(x) \)

die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte \( \rho(x, t) \) und den Strom \( j(x, t) bestimmen . \) \( A_{0} \) und \( A_{1} \) sind zwei reelle Zahlen, die die Bedingung

\( A_{0}^{2}+A_{1}^{2}=1 \)

erfüllen sollen. Ich habe hier etwas Schwierigkeiten, weil die Funktion sehr komplex ist. Weiß jemand, was die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und Stromdichte wäre? Ab da komme ich weiter mit dem Plotten.


Weitere Frage: Diskutieren Sie kurz das Verhalten der Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Zeit.

Ich hatte hierbei überlegt, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte \( \psi^{*}(x, t) \psi(x, t) \)  räumlich (und zeitlich) konstant ist. D.h. der genaue Aufenthaltsort des Teilchens ist unbestimmt oder mit anderen Worten, die Unschärfe \( \Delta x \) des Ortes ist unendlich. Da \( \Delta p \Delta x \sim h \) endlich ist, verschwindet die Unschärfe \( \Delta p \) des Impulses \( p \)
D.h. neben der Energie \( E \) nimmt auch der Impuls \( p \) einen scharfen Wert an. Auch beim Impuls sind die Werte beliebig und nicht diskret.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte \( \rho(x, t) \) und Strom \( j(x, t) \)

Um die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte \( \rho(x, t) \) zu bestimmen, nutzen wir die gegebene Wellenfunktion \(\psi(x, t)\) und berechnen das Betragsquadrat:

\( \psi(x, t) = A_{0} e^{-i E_{0} t / \hbar} \phi_{0}(x) + A_{1} e^{-i E_{1} t / \hbar} \phi_{1}(x) \)

Da \( \phi_{n}(x) \) normierte Eigenfunktionen sind, gilt für die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte \( \rho(x, t) = \psi^{*}(x, t) \psi(x, t) \):

\( \rho(x, t) = |\psi(x, t)|^{2} = (A_{0} e^{i E_{0} t / \hbar} \phi_{0}^{*}(x) + A_{1} e^{i E_{1} t / \hbar} \phi_{1}^{*}(x)) (A_{0} e^{-i E_{0} t / \hbar} \phi_{0}(x) + A_{1} e^{-i E_{1} t / \hbar} \phi_{1}(x)) \)

Um das zu vereinfachen, berücksichtigen wir die Orthogonalität der Eigenfunktionen \(\phi_{n}(x)\), das heißt \(\int \phi_{n}^{*}(x) \phi_{m}(x) dx = \delta_{nm}\), wo \(\delta_{nm}\) das Kronecker-Delta ist (1 für \(n=m\) und 0 sonst).

Da \(A_0\) und \(A_1\) reell sind und unter Berücksichtigung der Eigenenergien, ergibt sich:

\( \rho(x, t) = A_{0}^{2} |\phi_{0}(x)|^{2} + A_{1}^{2} |\phi_{1}(x)|^{2} + 2 A_{0} A_{1} \text{Re}\{\phi_{0}^{*}(x) \phi_{1}(x) e^{-i (E_{1} - E_{0}) t / \hbar}\} \)

Da \(E_1 = \frac{3}{2}\hbar \omega\) und \(E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega\), ist der Unterschied in den Exponentialfaktoren gegeben durch \(-i (E_{1} - E_{0}) t / \hbar = -i \hbar \omega t\).

Um den Wahrscheinlichkeitsstrom \(j(x, t)\) zu bestimmen, nutzt man die kontinuierliche Schrödinger-Gleichung und definiert \(j\) als:

\( j(x, t) = \frac{\hbar}{2mi}(\psi^{*} \nabla \psi - \psi \nabla \psi^{*}) \)

In einer Dimension vereinfacht sich das zu:

\( j(x, t) = \frac{\hbar}{2mi}(\psi^{*}(x, t) \frac{d\psi}{dx}(x, t) - \psi(x, t) \frac{d\psi^{*}}{dx}(x, t)) \)

Für die spezifische Berechnung von \(j(x,t)\) müssen die expliziten Formen von \(\psi(x,t)\) und deren räumlichen Ableitungen eingesetzt werden. Die genaue Form ist komplex und hängt von der Form der \(\phi_n(x)\) ab.

Diskussion des Verhaltens der Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Zeit

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit \( \rho(x, t) \) enthält einen zeitabhängigen Term, der auf die Überlagerung der ersten beiden Zustände zurückzuführen ist. Dies führt zu Interferenzeffekten zwischen diesen Zuständen, die zeitabhängige Oszillationen in der Aufenthaltswahrscheinlichkeit hervorrufen können. Diese Oszillationen stellen eine nicht stationäre Dynamik des Systems dar, die zeigt, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte nicht zeitunabhängig ist, im Gegensatz zur anfänglich vorgestellten simplifizierten Überlegung.

Die Interpretation, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit oder Wahrscheinlichkeitsdichte räumlich (und zeitlich) konstant ist, ist somit nicht korrekt für Überlagerungszustände wie in diesem Szenario, wo \(\psi(x, t)\) eine Linearkombination von Eigenzuständen ist. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und somit die Unschärfe in der Ortung des Teilchens wird durch die Form der Wellenfunktion \(\psi(x, t)\) und deren Zeitabhängigkeit beeinflusst. Dabei führt die zeitabhängige Phase \(e^{-i E_n t / \hbar}\) zu der erwähnten zeitlichen Variation in \(\rho(x,t)\), was bedeutet, dass die Lokalisierung des Teilchens im System zeitabhängig variiert. Eine unendliche Ortsunschärfe \(\Delta x\) und eine verschwindende Impulsunschärfe \(\Delta p\) sind für diesen Zustand nicht zutreffend, da die Heisenbergsche Unschärferelation diskrete, nicht verschwindende Werte für \(\Delta x\) und \(\Delta p\) vorhersagt, insbesondere in einem gebundenen System wie einem harmonischen Oszillator.