In der klassischen Mechanik wird einem Teilchen der Masse \( m \), das sich nur entlang der \( x \) -Achse bewegt und das sich in einem Potential \( V(x) \) befindet, die Lagrangefunktion
\( L(x, \dot{x})=\frac{m}{2} \dot{x}^{2}-V(x) \)
zugeordnet. Wir betrachten hier das Potential des harmonischen Oszillators, \( V(x)=\frac{k}{2} x^{2} \) mit einer positiven Konstanten \( k \).
(a) Geben Sie den zur Koordinate \( x \) kanonisch konjugierten Impuls \( p \) und die Hamiltonfunktion \( H(x, p) \) an. Integrieren Sie die Hamiltonschen Gleichungen. Die Lösung \( x(t), p(t) \) muss zwei freie Konstanten enthalten.
(b) Bestimmen Sie die durch die Bohr-(Wilson-)Sommerfeld-Bedingung
\( \frac{1}{2 \pi} \oint p d x=n \hbar, \quad n \in \mathbb{N} \)
erlaubten Energiewerte \( E_{n} \), ausgedrückt durch die Eigenfrequenz \( \omega=\sqrt{k / m} \) des Oszillators.
Dabei bezeichnet q eine generalisierte Koordinate – im vorliegenden Fall zweckmäßigerweise einen Winkel – und p den zugehörigen kanonisch konjugierten Impuls. Man muss also den Hamiltonformalismus verwenden, den wir hier und im Folgenden als bekannt voraussetzen. Die sogenannte Bohr-(Wilson-)Sommerfeld-Quantisierungsregel kann ja nicht nur auf die Bewegung im 1/r-Potential angewendet werden, sondern auch auf andere Bewegungsprobleme, die eine Hamiltonsche Formulierung zulassen und periodische Lösungen besitzen, also zum Beispiel auf den harmonischen Oszillator. Kann mir jemand sagen, wie man anhand dessen dann diese Koordinate in a) bestimmt sowie diese Energiewerte in b)
Danke!
