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Aufgabe:

a) Geben Sie eine Formel für den komplexen Widerstand
der skizzierten Schaltung an.
b) Gibt es eine Frequenz für die der Imaginärteil des Widerstandes
verschwindet?


Schaltung.png


Könntest ihr mir bitte helfen? :)


Problem/Ansatz:

a) XL = w*L => XL_ = ω*L*ej(-90°)  = jωl

Z = jωl + (C*R)/(C+R)

b) j*2π*f + (C*R)/(C+R)

von

1 Antwort

+2 Daumen

Hallo,

hier ein Tipp zur Vorgehensweise:

1) Stelle ein Gleichung für den komplexen Gesamtwiderstand der Schaltung in der Form

$$Z = a + jb$$  auf.

2) anschließend den Imaginärteil b zu Null setzen und diese Gleichung nach \(ω\)  auflösen. Sofern es eine relle Lösung für \(ω\)  gibt, ist das die gesuchte Frequenz.

Probier es mal selbst. Falls es Probleme gibt, dann nochmal melden.

Gruß von hightech


Nein, der Lösungsansatz in Deinem Kommentar ist falsch. Der Lösungsansatz lautet:

$$\underline Z (ω) = jωL + \frac{R*\frac{1}{jωC}}{R+\frac{1}{jωC}}$$

Jetzt musst Du separieren nach a und jb, wobei im reelen Teil a jetzt nicht mehr j erscheinen darf! Das ist algebraisch zwar etwas aufwendig, aber notwendig. Anschließend weiter wie oben beschrieben.

Gruß von hightech

von

Danke.

Kann man das so aufstellen?

Z = (C*R)/(C+R) + jwl

$$Z = \frac{R*\frac{1}{jωc}}{R+\frac{1}{jwc}}  |*jωc(Zähler und Nenner)$$

$$  =   \frac{R}{Rjωc+1}$$

$$ = \frac{1}{jωc} + R |*iωc$$

$$= 1 + iωcR$$

Hallo,

ich bereite die Lösung vor und stelle sie dann hier ein.

Vorher noch ein Tipp wie Du vielleicht besser verstehst, wie man den Gesamtwiderstand berechnet:

Bezeichne die Kapazität C allgemein als komplexen Widerstand Z1 , den Ohmschen Widerstand R als komplexen Widerstand Z2 und die Induktivität L als komplexen Widerstand Z3 und berechne dann die Gesamtimpedanz Zges nach der allgemeinen Formel

$$\underline Z_{ges} = \underline Z_{3} + \frac{\underline Z_{1}*\underline Z_{2}}{\underline Z_{1}+\underline Z_{2}}$$

prinzipiell wie ohmsche Widerstände, nur unter Beachtung des Imaginäranteils. Anschließend die Summanden nach Real- und Imaginärteil trennen. Das ist algebraisch recht aufwendig, aber daran kommst Du nicht vorbei.

\(Z = \frac{R*\frac{1}{jωc}}{R+\frac{1}{jwc}}  |*jωc(Zähler und Nenner)\)

\(=  \frac{R}{Rjωc+1}\)

\(= \frac{1}{jωc} + R |*iωc\)

\(= 1 + iωcR\)


Ich wollte fragen, ob man mir netterweise sagen könnte, was ich daran falsch gemacht habe und wie man richtig an dieser Aufgabe rangeht.

Ist das nicht nach a + jb separiert?

Freue mich auf die Antwort darauf :)

(1) + i (iwcR)

a= 1; b = wcR

Hallo,

ich sehe, Dein Problem liegt in der Mathematik.

Man sagt: "Willst Du in Elektrotechnik besser werden, dann musst Du in Mathematik besser werden" (das ist keineswegs arrogant gemeint!)

Deshalb gebe ich Dir hier die ausführliche Lösung mit dem Hinweis, unbedingt die dazugehörige Mathematik zu erlernen.

zu Frage a):

Geben Sie eine Formel für den komplexen Widerstand
der skizzierten Schaltung an.

Schritt 1:

Der komplexe Widerstand  \(\underline Z_{ges}\) soll berechnet werden und in der allgemeinen Form \(\underline Z_{ges} = a + jb\)  dargestellt werden.

$$\underline Z_{ges} = jωL + \frac{R*\frac{1}{jωC}}{R+\frac{1}{jωC}} =  jωL + \frac{R}{1+jωCR}$$

\(\underline Z_{ges} = \frac{jωL*(1+jωCR) + R}{1+jωCR}\)    jetzt konjugiert komplex erweitern

\(\underline Z_{ges} = \frac{jωL*(1+jωCR) + R}{1+jωCR} * \frac{(1-jωCR)}{(1-jωCR)}\)

\(\underline Z_{ges} = \frac{(jωL-ω^{2}CRL+R)*(1-jωCR)}{(1+jωCR)*(1-jωCR)}\)   jetzt ausmultiplizieren

\(\underline Z_{ges} = \frac{jωL+ω^{2}CRL-ω^{2}CRL+jω^{3}C^{2}R^{2}L+R-jωCR^{2}}{1+ω^{2}C^{2}R^{2}}\)

jetzt Real- und Imaginärglieder zusammenfassen

\(\underline Z_{ges} = \frac{R}{1+ω^{2}C^{2}R^{2}} + j*\frac{(ω^{3}C^{2}R^{2}L-ωCR^{2}+ωL)}{1+ω^{2}C^{2}R^{2}}\)

Das ist der komplexe Gesamtwiderstand in der Form  \(\underline Z_{ges} = a + jb\)

zu Frage b):

Gibt es eine Frequenz für die der Imaginärteil des Widerstandes
verschwindet?

Lösung: Der Imaginärteil ist dann Null, wenn der Zähler des Imaginärteils Null ist, also

\(ω^{3}C^{2}R^{2}L-ωCR^{2}+ωL = 0\)

\(ω*(ω^{2}C^{2}R^{2}L-CR^{2}+L) = 0\)

\(ω^{2}C^{2}R^{2}L-CR^{2}+L = 0\)    diese Gleichung nach \(ω\) aufgelöst

\(ω = \sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{1}{C^{2}R^{2}}}\)    bzw. die Frequenz f

\(f = \frac{1}{2π}*\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{1}{C^{2}R^{2}}}\)

Mit dieser Gleichung lässt sich die Frequenz f berechnen, bei der der Imaginärteil Null ist. Das ist übrigens die Resonanzfrequenz. Dann verhält sich die Schaltung wie ein rein Ohmscher Widerstand, denn ein Blindwiderstand ist bei dieser Frequenz nicht vorhanden.

Gruß von hightech

Danke für deinen ausführlichen Kommentar.


Habe auch jwl + R/(1+jwRC) rausgekriegt.

Nur habe ich nicht die Konjugation angewendet.

Ich beherrsche die konjugierte Erweiterung schon, nur bin ich in diesem Fall nicht darauf gekommen das da anzuwenden.

Hab jwl + R/(1+jwRC) weiter zu jwL + R + 1/jwC;  jwl + R -j*1/wc und dann zu

R + i(wL - 1/wc)umgeformt.

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