Kompression: In welche Tiefe muss müsste der Würfel gelangen um bestimmte Kompression zu erfahren?

Question

In welche Tiefe müsste der Quarzwürfel in die Erde gelangen um diese Kompression zu erfahren? (angenommen die Temp. bleibt konstant)

(Faustformel $$ p (MPa) = 3z (km)$$ mit einer mittleren Gesteinsdichte von $$3000 kg/m² $$ und der Gravitationsbeschleunigung von$$ 10 m/s²$$

In der vorherigen Aufgabe habe ich schon berechnet, dass der Würfel $$\Delta p = 1,11 GPa$$ benötigt, um von einer Kantenlänge von $$1 cm$$ auf $$0,99$$ komprimiert zu werden.

Ich komme da gerade nicht weiter. Über Lösungsansätze und -vorschläge würde ich mich freuen. :)

Answer 1

Hallo olisebver,

Fausformel \(p (MPa) = 3z (km)\)

das kann nicht stimmen. In 10m Wassertiefe herrscht ein Druck von \(10^5 \text{Pa}\) - im Gestein wäre es dann das Dreifache. Setze ich also für \(z= 1/100\) (:= 10m) so wären das $$\frac 3{100} \text{MPa} = \frac 3{100} \cdot 10^6 \text {Pa} = 3 \cdot 10^4 \text{Pa} \ne 3 \cdot 10^5 \text{Pa}$$Ich rechne nochmal nach. Der Druck \(p\) in \(z\) km Tiefe ist $$\begin{aligned} p(z) &= z \cdot \rho \cdot g \\ &= z \cdot 3 \cdot 10^3 \frac{\text{kg}}{\text m^3} \cdot 10 \frac{\text m}{\text s^2} \\ &= \frac {10^3 \cdot z}{10^3 \,\text{m}}  \cdot 3 \cdot 10^4 \frac{\text{kg}}{\text m^2} \cdot \frac{\text m}{\text s^2} \\ &=  \frac z{\text{km}}\cdot 3 \cdot 10^7 \,\text{Pa} \\ &=  \frac z{\text{km}}\cdot 30 \,\text{MPa} \end{aligned}$$Wenn Du nun die Tiefe ausrechnen möchtest, in der ein Druck von \(1,11\,\text{GPa}\) herrscht, so setze einfach ein $$1,11\,\text{GPa} = 1110 \,\text{MPa} = \frac z{\text{km}}\cdot 30 \,\text{MPa} \\ \implies z = \frac{1110}{30} \text{km} = 37 \,\text{km}$$Gruß Werner

Comments

Ich habe die Aufgabe auch vor mir zu liegen. Ist wohl ein Fehler in der Aufgabenstellung. Da wird auch 370 km als Lösung angegeben.