Berechnung der Inversen durch elementare Zeilenoperationen. Bsp ((0, -i),(i, 0)) und ((1,0)(0,-1))

Question

kann mir hier jmd vielleicht weiterhelfen? weiß nicht, wie ich es zu berechnen habe.

Berechen Sie durch elementare Zeilenoperationen die Inverse von ...

Answer 1

Hallo

Hier mal die Vorgehensweise zur Bildung der Inversen:

Man schreibt die Matrix von der die Inverse gebildet werden soll und eine Einheitsmatrix gleicher Dimension daneben. Dann formt man die linke Matrix in eine Einheitsmatrix um nimmt die gleichen Umformungen bei der rechten Matrix vor. Aus der rechten Matrix entsteht so nach und nach die Inverse der linken Matrix.

Falls Du noch Fragen hast --> Kommentar.

lg JR

Answer 2

Du schreibst die entsprechende Einheitsmatrix rechts neben die Matrix. Diese neue (n*2n)-Matzrix wird nun durch elementare Zeilenoperationen so umgeformt, dass schließlich die linke Hälfte aus der Einheitsmatrix besteht. Die rechte Hälfte ist dann die gesuchte Inverse. Das Verfahren wird auch als Gauss-Algorithmus bezeichnet.

Comments

hab es nicht verstanden

kannst du vielleicht den Rechenweg schreiben?

Answer 3

0 -i 1 0             /+II
i  0 0 1

i -i 1 1
i  0 0 1           |-I

i -i 1 1             |-II
0 i -1 0

i 0 0 1         |:i d.h. *(-i)
0 i -1 0        I : i d.h. * (-i)

1 0 0 -i
0 1 i 0

SigmaZwei^{-1} = SigmaZwei.

Die andern Inversen berechnest du nach dem gleichen Prinzip.

Zur Kontrolle:

SigmaEins und SigmaDrei sind ebenfalls sogenannt 'Selbstinverse'. Du kannst dir geometrisch überlegen, was die machen: Punktspiegelung an (0,0), Spiegelung an der Geraden y=x, Spiegelung an der x-Achse.

Comments

Man kann bei σ₂ noch etwas Arbeit sparen, wenn man zunächst die erste Zeile mit +i und die zweite mit −i multipliziert und dann die beiden entstandenen Zeilen tauscht. Bei σ₁ genügt es, die Zeilen zu tauschen und bei σ₃ genügt es, die letzte Zeile mit −1 zu multiplizieren.

 

---

Super. Danke für die Ergänzung!