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Wellenfunktion bestimmen mit einem Profil
Die Wellenfunktion für eine sich ausbreitende Welle, die gegeben ist durch ein Anfangsprofil \(u(y, 0) = \frac{3}{2y^2 + 1}\), und sich mit einer Geschwindigkeit von \(v = 2\) m/s in positive y-Richtung ausbreitet, kann durch die allgemeine Lösung der Wellengleichung für eindimensionale Ausbreitung beschrieben werden.
Die allgemeine Form der Wellengleichung für eine Welle, die sich entlang der \(y\)-Achse ausbreitet, ist gegeben durch:
\( u(y, t) = f(y - vt) + g(y + vt) \)
Hierbei ist \(u(y, t)\) die Wellenfunktion zum Zeitpunkt \(t\) an der Position \(y\), \(f\) und \(g\) repräsentieren die Formen der Welle, die sich in positiver bzw. negativer \(y\)-Richtung bewegen, und \(v\) ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.
Da angegeben ist, dass sich die Welle nur in eine Richtung, nämlich in positive \(y\)-Richtung, bewegt, kann der Term \(g(y + vt)\) vernachlässigt werden, da er für Ausbreitung in negative Richtung steht. Das bedeutet, dass wir uns auf den Term \(f(y - vt)\) konzentrieren können. Also hat die Wellenfunktion folgende vereinfachte Form:
\( u(y, t) = f(y - vt) \)
Da das Anfangsprofil \(u(y, 0) = \frac{3}{2y^2 + 1}\) ist, setzt man \(t=0\) in die Gleichung ein, um \(f(y)\) zu bestimmen:
\( u(y, 0) = f(y - 2\cdot0) = f(y) = \frac{3}{2y^2 + 1} \)
\(f(y)\) ist daher genau das gegebene Anfangsprofil der Welle. Das bedeutet, dass \(f(y)\) die Form der Welle beschreibt, bevor sie beginnt, sich zu bewegen.
Setzen wir \(f(y) = \frac{3}{2y^2 + 1}\) in die allgemeine Wellenfunktion \(u(y, t) = f(y - vt)\) ein, erhalten wir:
\( u(y, t) = \frac{3}{2(y - 2t)^2 + 1} \)
Das ist die Wellenfunktion \(u(y, t)\) für die Welle zum Zeitpunkt \(t\) an der Position \(y\), die sich mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s in positive y-Richtung ausbreitet und anfänglich das Profil \(u(y, 0) = \frac{3}{2y^2 + 1}\) hat.
