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Von einem oberen Fenster eines Hochhauses lassen wir einen Stein nach unten fallen. Wir hören genau 3,6 s nach dem Loslassen des Steines seinen Aufprall am Boden. Wie hoch waren wir über dem Boden, wenn die Schallgeschwindigkeit in Luft rund 333 m/s ist?

(Ergebnis: 57,6m)

Bitte mit Erklärung des Lösungsweges :)

Danke schonmal

von

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Es muss gelten:

Fallzeit t f + Schallzeit t s = 3,6 s, also:

$${ t }_{ f }+{ t }_{ s }=3,6\Leftrightarrow { t }_{ s }=3,6-{ t }_{ f }$$

und

Fallweg sf = Schallweg ss, also:

$${ s }_{ f }=\frac { 1 }{ 2 }g{ { t }_{ f } }^{ 2 }={ v }_{ s }{ t }_{ s }={ s }_{ s }$$

 

Erste Gleichung in zweite Gleichung einsetzen:

$$\frac { 1 }{ 2 } g{ { t }_{ f } }^{ 2 }={ v }_{ s }(3,6-{ t }_{ f })$$

und nach t f auflösen:

$$\Leftrightarrow \frac { 1 }{ 2 } g{ { t }_{ f } }^{ 2 }=3,6{ v }_{ s }-{ v }_{ s }{ t }_{ f }$$

$$\Leftrightarrow \frac { 1 }{ 2 } g{ { t }_{ f } }^{ 2 }+{ v }_{ s }{ t }_{ f }=3,6{ v }_{ s }$$

Auf beiden Seiten mit 2 / g multiplizieren:

$$\Leftrightarrow { { t }_{ f } }^{ 2 }+{ \frac { 2{ v }_{ s } }{ g }  }{ t }_{ f }=\frac { 7,2{ v }_{ s } }{ g } $$

Auf beiden Seiten die quadratische Ergänzung addieren:

$$\Leftrightarrow { { t }_{ f } }^{ 2 }+{ \frac { 2{ v }_{ s } }{ g }  }{ t }_{ f }+{ \left( \frac { { v }_{ s } }{ g }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 7,2{ v }_{ s } }{ g } +{ \left( \frac { { v }_{ s } }{ g }  \right)  }^{ 2 }$$

Linke Seite mit Hilfe der ersten binomische Formel als Quadrat schreiben:

$$\Leftrightarrow { \left( { t }_{ f }+\frac { { v }_{ s } }{ g }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 7,2{ v }_{ s } }{ g } +{ \left( \frac { { v }_{ s } }{ g }  \right)  }^{ 2 }$$

Wurzel ziehen:

$$\Leftrightarrow { t }_{ f }+\frac { { v }_{ s } }{ g } =\pm \sqrt { \frac { 7,2{ v }_{ s } }{ g } +{ \left( \frac { { v }_{ s } }{ g }  \right)  }^{ 2 } }$$

$$\Leftrightarrow { t }_{ f }=\pm \sqrt { \frac { 7,2{ v }_{ s } }{ g } +{ \left( \frac { { v }_{ s } }{ g }  \right)  }^{ 2 } } -\frac { { v }_{ s } }{ g } $$

Werte einsetzen:

$$\Leftrightarrow { t }_{ f }=\pm \sqrt { \frac { 7,2{ *333 } }{ 9,81 } +{ \left( \frac { { 333 } }{ 9,81 }  \right)  }^{ 2 } } -\frac { { 333 } }{ 9,81 }$$

$$\Leftrightarrow { t }_{ f }=\pm \sqrt { 1396,664 } -33,945$$

$$\Rightarrow { t }_{ { f }_{ 1 } }=-139,21,\quad { t }_{ { f }_{ 2 } }=3,427$$

Die negative Lösung entfällt, also:

$${ t }_{ { f } }=3,427s$$

Die Fallzeit beträgt also 3,427 Sekunden.

Einsetzen in die erste Formel (ganz oben) ergibt:

$${ t }_{ s }=3,6-3,427=0,173s$$

Die Schallzeit beträgt also 0,173 Sekunden.

Daraus ergibt sich für den Schallweg:

$${ s }_{ s }={ v }_{ s }{ t }_{ s }=333\frac { m }{ s } *0,173s=57,61m$$

von
+1 Daumen

hi

die 3,6s sind die summe aus der fallzeit des steins, die der stein benötigt, bis er aus der höhe h auf dem boden aufschlägt und der zeit des schalls, die der schall vom zeitpunkt des aufpralls bis zur höhe h braucht.

t = 3,6s = tFall + tSchall

die fallzeit des steins beträgt tFall = ✓(2h/g) und der schall braucht tSchall = h/vSchall bis zur höhe h.

t = ✓(2h/g) + h/vSchall | v:=vSchall

t = ✓(2h/g) + h/v | - h/v

✓(2h/g) = t - h/v | diese gleichung wird quadriert, um die wurzel loszuwerden
2h/g = (t - h/v)²

2h/g  = t² - 2th/v + h²/v²

h²/v² - 2th/v - 2h/g + t² = 0

eine der beiden lösungen dieser quadratischen gleichung, deren lösungsweg einzutippen ich mir um diese uhrzeit spare, ergibt einen sinnvollen wert mit h ≈ 57,6m

mfg

 


 

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