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a) Nach welcher Zeit, nach welcher Fahrtstrecke und mit welcher Geschwindigkeit beendet der PKW den Überholvorgang?
Um die Zeitspanne, die Fahrtstrecke und die Geschwindigkeit, mit der der PKW A den Überholvorgang beendet, zu berechnen, müssen wir einige kinetische Gleichungen und Konzepte verwenden.
Geschwindigkeit des PKW in m/s:
Zunächst müssen wir die Geschwindigkeit des PKW A von km/h in m/s umrechnen.
\(v_{A0} = 18 \, \text{km/h} = 18 \times \frac{1000 \, \text{m}}{3600 \, \text{s}} = 5 \, \text{m/s}\)
Gesamtdistanz für den Überholvorgang:
Zurückzulegende Distanz setzt sich zusammen aus der Länge des PKW \(4,2 \, \text{m}\), der Länge des Traktors mit Anhänger \(15 \, \text{m}\) und den zwei Sicherheitsabständen von je \(9 \, \text{m}\) vor und nach dem Überholvorgang.
\(d_{gesamt} = 4,2 \, \text{m} + 15 \, \text{m} + 9 \, \text{m} + 9 \, \text{m} = 37,2 \, \text{m}\)
Beschleunigung und Endgeschwindigkeit:
Da der PKW A mit einer Beschleunigung von \(3 \, \text{m/s}^2\) beschleunigt, können wir die Zeit \(t\) berechnen, die der PKW benötigt, um die Distanz \(d_{gesamt}\) zurückzulegen. Dabei verwenden wir die Gleichung für die Beschleunigungsbewegung:
\(d = v_{A0} \cdot t + \frac{1}{2} a t^2\)
Wir setzen die bekannten Werte ein um \(t\) zu berechnen:
\(37,2 = 5t + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot t^2\)
Diese Gleichung vereinfacht sich zu:
\(0 = \frac{3}{2}t^2 + 5t - 37,2\)
Für eine quadratische Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\) ist die Lösung:
\(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Setzen wir \(a = \frac{3}{2}\), \(b = 5\), \(c = -37,2\) ein, erhalten wir:
\(t = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot \frac{3}{2} \cdot (-37,2)}}{2 \cdot \frac{3}{2}}\)
\(t = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 223,2}}{3}\)
\(t = \frac{-5 \pm \sqrt{248,2}}{3}\)
Da negative Zeit physikalisch nicht sinnvoll ist, verwenden wir das positive Vorzeichen:
\(t = \frac{-5 + 15,75}{3}\)
\(t = 3,58 \, \text{s}\)
Endgeschwindigkeit des PKW A:
\(v_{A} = v_{A0} + a \cdot t = 5 \, \text{m/s} + 3 \cdot 3,58 = 5 + 10,74 = 15,74 \, \text{m/s}\)
Fahrtstrecke während des Überholens:
Die Fahrtstrecke, die der PKW A während des Beschleunigungsvorgangs zurücklegt, kann direkt aus der zuvor verwendeten Formel entnommen werden:
\(d_{A} = v_{A0} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 = 5 \cdot 3,58 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3,58)^2 =17,9 + 19,26 = 37,16 \, \text{m}\)
Zusammenfassend dauert der Überholvorgang etwa \(3,58\) Sekunden, die Endgeschwindigkeit des PKW A ist \(15,74 \, \text{m/s}\) (umgerechnet \(56,664 \, \text{km/h}\)), und die zurückgelegte Fahrtstrecke während des Überholens beträgt \(37,16 \, \text{m}\).
b) Kann der PKW den Überholvorgang auch dann noch sicher durchführen, wenn ihm auf der Landstraße ein anderer PKW C mit konstanten 90 km/h entgegenkommt, der zu Beginn des Überholvorgangs noch 190m von PKW Anhänger entfernt ist?
Berechnen wir, ob der Gegenverkehrspkw C die Stelle erreicht, bevor pkw A den Überholvorgang beendet:
Die Geschwindigkeit des entgegenkommenden PKW \(v_{C} = 90 \, \text{km/h} = 25 \, \text{m/s}\).
Die Zeit, die PKW C benötigt, um die Distanz von 190 m zu überbrücken:
\(t_{C} = \frac{d_{C}}{v_{C}} = \frac{190}{25} = 7,6 \, \text{s}\)
Da PKW A 3,58 Sekunden für den Überholvorgang benötigt, was kürzer als die 7,6 Sekunden ist, die der entgegenkommende PKW C braucht, kann PKW A den Überholvorgang sicher beenden, bevor PKW C die Position von PKW A erreicht.
