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Die kinetische Energie eines Vaters der mit seinem Sohn um die Wette läuft ist halb so groß wie die seines Sohnes ; die Masse des Sohnes ist halb so groß wie die des Vaters . Der Vater wird um 1 m/s schneller und besitzt dann dieselbe kinetische Energie wie sein Sohn . wie groß sind die ursprünglichen geschwindigkeiten a) des Vaters und b) des Sohnes

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Hallo Line,

Die kinetische Energie (\(E_{\mbox{kin}}\)) ist proportional zur bewegten Masse (\(m\)) und steigt quadratisch mit der Geschwindigkeit (\(v\)) an. Es ist $$E_{\mbox{kin}} = \frac12 mv^2$$ Die Masse des Sohns sei \(m\). Dann ist die Masse des Vaters \(=2m\) (doppelt so groß). Die Geschwindigkeit des Vaters sei \(v_v\) und die des Sohnes \(v_s\). Da die kinetische Energie des Vaters halb so groß ist, wie die des Sohnes ist:

$$2 \left( \frac12 (2m) v_v^2\right) = \frac12 m v_s^2 \quad \Rightarrow v_v = \frac12 v_s$$ Nachdem der Vater seine Geschwindigkeit um \(1 \mbox{m/s}\) erhöht hat, sind beide Energien gleich:

$$\begin{align} \frac12 (2m) (v_v + 1 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}})^2 &= \frac12 m v_s^2  \\ 2(v_v + 1 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}})^2&= v_s^2 \end{align}$$ Einsetzen von \(v_v = v_s/2\) von oben gibt:

$$2(\frac12 v_s + 1 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}})^2 = v_s^2$$ $$\Rightarrow v_s = (2+2\sqrt{2}) \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \approx 4,8\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} $$ (Bem. die zweite Lösung ist negativ und entfällt daher). Die Geschwindigkeit \(v_v\) des Vaters vor der Geschwindigkeitserhöhung war \(v_v = v_s/2 \approx 2,4 \mbox{m/s}\).

Gruß Werner

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