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Folgende Aufgabe bezüglich Vollkörpern ist gegeben:

Ein Vollzylinder und eine Vollkugel mit einer Masse von jeweils m = 1 kg besitzen beide einen Radius von R = 30 cm. Sie drehen sich jeweils um ihre Symmetrieachse mit einer Kreisfrequenz von ω = 5 Hz (siehe Skizze).

a) Wie lange dauert eine Umdrehung der beiden Körper?

b) Berechnen Sie das Trägheitsmoment und den Drehimpuls der Körper!

c) Berechnen Sie das Verhältnis der Rotationsenergien!

d) Nun rotieren die beiden Objekte nicht mehr um ihre jeweilige Symmetrieachse, sondern um eine jeweils 30 cm dazu parallel verschobene Achse (also am Umfang liegend). Wie groß ist nun das jeweilige Trägheitsmoment der Körper?

blob.png


Lösungsvorschläge:

geg:
mZ=1kg
mK=1kg
R=30cm
ω=5Hz

ges:
Θ,L,ERot

Lös:
For
Fo

von

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zu a)

ω = 2*π/T -> T = 2*π/ω = 2*π/(5 1/s) = 1,257 s

zu b)

Trägheitsmomente:

J Kugel = (2/5) *m*r2  = (2/5) *1 kg*0,32 m2 = 0,036 kg m2

J Zylinder = (2/5) *m*r2  = (1/2) *1 kg*0,32 m2 = 0,045 kg m2

Drehimpuls: L = J*ω -> LKugel = 0,036 kg m2 * 5 1/s = 0,18 Nm*s und LZylinder = 0,045 kg m2 * 5 1/s = 0,225 Nm*s

zu c) Erot = (1/2) *J*ω2 -> Erot Kugel/Erot Zylinder = ((1/2) *JKugel2)/((1/2) *JZylinder2) = JKugel/JZylinder

zu d) Anwendung: Satz von Steiner, wonach die Drehung des Körpers um eine Drehachse, die nicht durch den

Mittelpunkt (die Hauptträgheitsachsen gehen durch den Mittelpunkt) geht, schreiben kann als

J = Ji + mi*xi2

mit Ji = Trägheitsmoment des Körpers um die Drehachse im Mittelpunkt, mi = Masse des Körpers und xi = Abstand zwischen Drehachse und Mittelpunkt

Kugel: J =  0,036 kg m2  + 1 kg*0,32 m2 =  0,126 kg m2

Zylinder:  J =  0,045 kg m2  + 1 kg*0,32 m2 =  0,135 kg m2

von
Hallo Bepprich,

vielen Dank für deine Unterstützung! Die neue Thematik ist für mich noch nicht ganz einfach, aber du hast die Rechenschritte so gut dargestellt, dass ich mich auf die Klausur gut vorbereiten kann (Also, welche Formeln benötigt werden, wie man die Gleichungen umstellt und was man beachten bzw. anwenden muss, wie der "Satz von Steiner"). Du bekommst auf jeden Fall einen Punkt und einen Stern!

Grüße Mountain_lion

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