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Ein PKW fährt in einer Ortschaft mit einer überhöhten Geschwindigkeit von 80 km/h. 35 m vor ihm erscheint plötzlich ein Hindernis auf der Straße. Nach der üblichen Schrecksekunde, in der das Auto mit unverminderter Geschwindigkeit weiterfährt, tritt der Fahrer voll auf die Bremse und verzöger mit 9 m/s hoch 2. Wie lang ist der gesamte Anhalteweg? Hätte der Fahrer bei einhalten der vorgeschriebenen Geschwindigkeit den Unfall vermeiden können ?

Mit welcher Geschwindigkeit trifft der PKW noch auf das Hindernis auf ?

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Hallo deger,

Die Geschwindigkeit \(80\mbox{km/h}\) entspricht \((80/3,6) \mbox{m/s} \). D.h. das Auto legt in der Schrecksekunde $$s(1\mbox{s})= v_0 \cdot 1 \mbox{s} = (80/3,6) \mbox{m} \approx 22,2 \mbox{m}$$ zurück. Danach verzögert das Auto mit einer konstanten Beschleunigung von \(9 \mbox{m/s}^2\)  - demnach ist ab hier die Geschwindigkeit \(v\) des Wagens in Abhängigkeit nach der Zeit \(t\):

$$v(t) = - 9 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \cdot (t-1\mbox{s}) + v_0$$ wobei \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit des Wagens ist. Er kommt also nach \(t_s\) zum Stehen:

$$v(t_s) = - 9 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \cdot (t_s-1\mbox{s}) + v_0 = 0 \quad \Rightarrow t_s = \frac{v_0}{ 9 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}} + 1\mbox{s}$$ Bei \(v_0= 22,2\mbox{m/s} \) ist das \(t_s \approx 3,47 \mbox{s}\). Der Weg \(s\) ist das Integral der Geschwindigkeit über der Zeit \(t\) - also hier:

$$\begin{align}s(t) &= - 9 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \cdot \frac12 (t-1\mbox{s})^2 + v_0(t - 1\mbox{s}) + s(1\mbox{s}) \\ & = - 9 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \cdot \frac12 (t-1\mbox{s})^2 + v_0 \cdot t \end{align}$$

Der Anhalteweg \(s(t_s)\) ist demnach:

$$s(t_s) = - 9 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \cdot \frac12 (2,47 \mbox{s})^2 + \frac{80}{3,6}\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot 3,47 \mbox{s}\approx 49,7\mbox{m}$$

Bei einem \(v_0=50\mbox{km/h}\) wäre \(t_s = 2,54 \mbox{s}\) und der Anhalteweg:

$$s(t_s) = - 9 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \cdot \frac12 (1,54 \mbox{s})^2 + \frac{50}{3,6}\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot 2,54 \mbox{s}\approx 24,6\mbox{m}$$

Aus der Wegformel \(s(t)\) folgt die Zeit \(t_k\) bis zur Kollision mit dem Hindernis \(s(t_k)=35\mbox{m}\):

$$s(t_k) = - 9 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \cdot \frac12 (t_k-1\mbox{s})^2 + v_0 \cdot t_k = 35\mbox{m} \quad \Rightarrow t_k \approx 1,664\mbox{s}$$ Die Geschwindigkeit des Autos ist dann noch

$$\begin{align}v(t_k) &= - 9 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \cdot (t_k-1\mbox{s}) + v_0 \\ &= - 9 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \cdot (1,664\mbox{s}-1\mbox{s}) + \frac{80}{3,6}\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \\ &\approx 16,2 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \approx 58,5 \frac{\mbox{km}}{\mbox{h}} \end{align}$$ Gruß Werner

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