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Gegeben ist ein harmonischer Oszillator:

$$\hat{H}= \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{m}{2}\omega^2\hat{x}^2$$

$$\textrm{a) Drücken die den Hamiltonoperator durch die Leiteroperatoren } a \textrm{ und } a^+ \textrm{ aus.}$$

b) Sei nun ein Zustand

$$\varphi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{3}}(\psi_0(x)+\psi_1(x)+\psi_2(x))$$

gegeben.

Bestimmen sie

$$\sigma^2=\langle \hat{x}^2(0)\rangle - \langle\hat{x}(0)\rangle^2$$

und 

$$\sigma^2(t)=\langle \hat{x}^2(t)\rangle - \langle\hat{x}(t)\rangle^2$$


Aufgabe a) kann ich lösen.

Aber bei b) fehlt mir der Ansatz. Ich weiß, dass ich x als Komposition der Absteigeoperatoren darstellen kann und ich weiß, dass man auch die Wellenfunktionen iterativ über diese Operatoren definieren kann.

Aber weiter komme ich nicht...

von

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Hallo,

ich habe jetzt die Ergebnisse nicht ausgerechnet, aber diese Ansätze sollten zum Ziel führen (alles ohne Hut geschrieben):

Der Erwartungswert einer Größe berechnet sich mit Hilfe des Skalarprodukts:

$$ < A > = <\varphi|A|\varphi> $$

Also z.B beim ersten hast du

$$ < x^2 > = <\varphi|x^2|\varphi> $$

Am günstigsten ist nun die Darstellung des Ortsoperators mithilfe von Erzeugern und Vernichtern:

$$ x=\sqrt{\frac{\hbar}{2mw}}(a^+ + a)$$

Nun quadrieren (die binomische Formel gilt nicht, da a und a^+ nicht vertauschen)

$$ x^2={\frac{\hbar}{2mw}}((a^+)^2 + a^2 +a^+ a +aa^+)$$

Einsetzen beim Erwartungswert:

$$ < x^2 > = {\frac{\hbar}{2mw}}<\varphi|((a^+)^2 + a^2 +a^+ a +aa^+)|\varphi> $$

Nun bleibt noch phi einzusetzen. Ich geh mal davon aus, das die ψ_i  die Eigenfunktionen sind.

In üblicher Schreibweise ist dann

$$ \varphi=\frac{1}{\sqrt{3}}(|0>+|1>+|2>) $$

Wende nun die Auf- und Absteigeoperatoren auf die Eigenzustände an und beachte, dass

$$ < n|m >= \delta_{nm}$$

Das selbe Spiel dann für <x>.

Für den zweiten Teil brauchst du dann die Zeitentwicklung:

$$ \varphi(x,t)=U(t)\varphi(x,0)=e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}\varphi(x,0)=e^{-i\omega (a^+a+1/2)t}\varphi(x,0)$$

von 2,4 k

Vielen Dank! Du rettest mir den Tag...

Ich bin allerdings noch nicht so sehr mit der Bra-Ket Notation vertraut.

Könntest du beispielhaft einmal einen Aufsteigeoperator auf eine Eigenfunktion in dieser Schreibweise anwenden?

Ok, ich mach mal den hinteren Summanden :

(gemäß 

https://de.wikipedia.org/wiki/Erzeugungs-_und_Vernichtungsoperator#Bosonische_Kletteroperatoren

)

$$ <\varphi|aa^+|\varphi>=\frac{1}{3} (<0|+<1|+<2|)aa^+(|0>+|1>+|2>)\\=\frac{1}{3} (<0|+<1|+<2|)a(|1>+\sqrt{2}|2>+\sqrt{3}|3>)\\=\frac{1}{3} (<0|+<1|+<2|)(|0>+2|1>+3|2>)\\=\frac{1}{3} (<0|0>+2<1|1>+3<2|2>)=2 $$

Danke!

Eine letzte Frage: Wirken die Operatoren immer nur auf die Kets und nicht auf die Bras?

Also beim ausrechnen lasse ich die immer auf die Kets wirken. Dann kann man die regeln von Wikipedia nehmen ;). Wenn man die Operatoren auf die Bra-Vektoren wirken lässt, muss man beachten, dass sich die Regeln gerade umkehren. Daher es ist


$$ < n|a=< n+1|\sqrt{n+1}\\< n|a^+=< n-1|\sqrt{n}\\  $$

Dann kommen am Ende auch die selben Ergebnisse raus.

Vielen Dank!

Sehr hilfreiche antworten, sehr gut erklärt! :)

Vielleicht komme ich morgen nochmal auf deine Hilfe zurück.

Guten Morgen!

Noch eine Frage zum "zweiten Teil"...

Funktioniert die Rechnung äquivalent zu dem Teil davor oder ändern die Auf-/Absteige-Operatoren auch etwas an der Exponentialfunktion?

Könntest du das vielleicht wieder für einen Summanden ausrechnen?

Ja, die Exponentialfunktion ändert was. Da dort im Argument unter anderem a^{+}a steht, ist die Exponentialfunktion wieder ein Operator. Um den aus zurechnen musst du die Exponentialreihe

nehmen: e^{A}=1+A+A^2/2 +...

Nun ist a^{+}a =n^{^} der Besetzungszahloperator, daher

es ist n^{^} |n>=n|n>

Damit kannst du die Reihe ausrechnen und danach den Erwartungswert von

dem Zeug ausrechnen ;). Im Moment bin ich nicht am Computer, aber später kann ich das vielleicht noch machen.

Danke! Ich werde mal versuchen damit zu rechnen.

Aber es wäre super, wenn du nachher noch kurz Zeit findet könntest das zu machen. :)

Zuerst rechnet man

$$ \varphi(x,t)=e^{-i\omega ( \hat n+1/2)t}\varphi(x,0)\\=\frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{-i\omega t}{2}}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-i\omega t)^k}{k!}}\hat n^k(|1>+|2>+|3>)\\=\frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{-i\omega t}{2}}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-i\omega t)^k}{k!}}(|1>+2^k|2>+3^k|3>)\\=\frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{-i\omega t}{2}}(e^{-i\omega t}|1>+e^{-2i\omega t}|2>+e^{-3i\omega t}|3>)\\ $$

Und jetzt geht es wie beim ersten Teil weiter.

Dankeschön!

Stehen die 0,1,2,3 in den Kets für 

$$\varphi(x,t)$$

gemäß deiner Definition für phi(x,t) in der ursprünglichen Antwort, oder für 

$$\varphi(x,0)?$$

Die kommen von

$$\varphi(x,0)=\frac{1}{\sqrt{3}}(|0>+|1>+|2>)$$

Danke - wer lesen kann ist klar im Vorteil.

Wirken sich die Auf-/Absteigeoperatoren denn auch irgendwie auf die "n"s in den Exponentialfunktionen aus? Man wird die Exponentialfunktionen ja nicht einfach nur "mitschleppen" und einfach so rechnen wie beim ersten Teil, oder?

Die e-Terme hab ich ja schon ausgerechnet, den Besetzungszahloperator habe ich ja schon aufgelöst indem die Eigenwertbeziehung genutzt wurde. Im Endergebnis

stehen dann nur noch normale Faktoren e^{....}mit Zahlen drin, die kannst du vor das Skalarprodukt ziehen. 

Das ergibt Sinn! Vielen Dank für alles! :)

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