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1) Unschärferelation und Harmonischer Oszillator
Ein Teilchen mit Masse \( m \), das in einem harmonischen Potential mit einer Kreisfrequenz \( \omega \) schwingt, besitzt eine Energie \( E=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} \).
1. Verwende die Heisenbergsche Unschärferelation \( \Delta x \Delta p \geq \hbar / 2 \), um zu zeigen, dass die minimale Energie \( E_{\min }=\hbar \omega / 2 \) ist und für diesen Zustand der mittlere quadratische Abstand des Teilchens \( x^{2}=\hbar /(2 m \omega) \).
Hinweis: Nimm an, dass die Ungleichung erfüllt wird, \( \Delta x \Delta p=\hbar / 2 \), und setze \( \Delta x^{2}=x^{2} \) und \( \Delta p^{2}=p^{2} \).
2. Berechne für \( { }^{133} \mathrm{Cs} \)-Atome \( \left(m=2.2 \cdot 10^{-25} \mathrm{~kg}\right) \), die in einem Potential mit \( \omega / 2 \pi= \) \( 120 \mathrm{kHz} \) im Zustand niedrigster Energie gefangen sind, aus dem mittleren quadratischen Abstand (siehe a) die Ortsunschärfe. Könnte man die Ortsunschärfe der Atome durch Streuung von Licht detektieren?
3. Wenn nun das Potential ausgeschaltet wird, expandieren die gefangenen Cäsium-Atome aufgrund ihrer Impulsunschärfe. Wie groß ist der mittlere quadratische Abstand der Atome nach einer Expansionszeit von \( \tau=6 \mathrm{~ms} \) (unter Vernachlässigung der anfänglichen Ortsunschärfe)?

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\( \begin{array}{l} \text { a) } E=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} \\ \Delta x \Delta p \geqslant \frac{t}{2} \quad \Leftrightarrow \quad \Delta x \Delta p=\frac{t}{2} \quad \begin{aligned} x^{2} p^{2}-\frac{t^{2}}{4} \\ p^{2}=\frac{t^{2}}{4 x^{2}} \end{aligned} \\ E=\frac{\hbar^{2}}{8 m x^{2}}+\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} \\ \text { Minumam } \frac{t^{2}}{8 x^{2}}+\frac{1}{2} \mu \omega^{2} x^{2}=0 \\ 4 m x^{3}=011 \frac{x^{2}=\frac{t}{2 m}}{\mu_{i n}} \\ E=\frac{\hbar \omega}{4}+\frac{\hbar \omega}{4}=\frac{\hbar \omega}{2} \\ \end{array} \)
b)
\( \begin{array}{ll} w^{\prime}=2,2 \cdot 10^{-25} \mathrm{~kg} \\ \frac{\omega}{2 \pi}=120 \cdot 10^{3} \mathrm{~Hz} & \omega=2 \pi \cdot 120 \cdot 10^{3} \mathrm{Rg} \mathrm{s}^{\prime} \\ E_{\text {min }}, \operatorname{dann} & x^{2}=\frac{\hbar}{2 m \omega} \\ x^{2}=\frac{1,054 \cdot 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}}{2 \cdot 2,2,40^{-25} \mathrm{~kg} \cdot 2 \pi \cdot 120 \cdot 10^{3} \mathrm{gg}^{-7}} \\ & x^{2}=3,18 \cdot 10^{-16} \mu^{2} \end{array} \)
C) \( U=0 \quad \Leftrightarrow F=\frac{\rho^{2}}{2 m} \)
\( \left\{\begin{array}{ll} \Delta x \Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2} & \Delta t=\frac{\Delta x}{2} ; \Delta E=\frac{1}{2} v \cdot \Delta p \\ \Delta E \Delta t \geqslant \frac{\hbar}{2} & \Delta t \Delta E=\frac{1}{2} \Delta x \Delta p \end{array}\right. \)

Hallo! Weiß nicht, was ich  bei dem letzten Punkt weiter machen kann :(


Und es gibt noch eine Frage:

Könnte man die Ortsunschärfe der Atome
durch Streuung von Licht detektieren?


Ich bin der Meinung, dass man wegen des Compton Effekt kann, aber bin nicht sicher.

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