Die Gleichgewichtsbedingungen liefern dann die gesuchten Lagerreaktionen …

Question

Aufgabe:

Abbildung: Freischnitt des Gesamtsystems zur Bestimmung der Lagerreaktionen

Die Gleichgewichtsbedingungen liefern dann die gesuchten Lagerreaktionen:

\( \begin{array}{l} \sum M^{(B)} \stackrel{!}{=} 0: \quad-F_{A_{y}} 2 L+q_{0} 2 L^{2}-q_{0} L \frac{L}{2}=0 \quad \Rightarrow \quad \underline{F_{A_{y}}=\frac{3}{4} q_{0} L}, \\ \sum F_{x} \stackrel{!}{=} 0: \quad F_{B_{x}}=0 \Rightarrow \underline{\underline{F_{B_{x}}}=0}, \\ \sum F_{y} \stackrel{!}{=} 0: \quad F_{A_{y}}+F_{B_{y}}-q_{0} 2 L-q_{0} L=0 \quad \stackrel{\text { Gl. }}{\Rightarrow}{ }^{(9)_{1}} \quad \underline{F_{B_{y}}=\frac{9}{4} q_{0} L} . \\ \end{array} \)

Ansatz/Problem:

Ich kann nicht nachvollziehen, wie man die umformen soll, damit jeweils das gezeigte Fay und Fby rauskommen kann.

Anmerkung: L, q0, F sind gegebene Größen in der Aufgabe.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Erklärung der Rechenschritte zur Bestimmung der Lagerreaktionen:

Schritt 1: Momentengleichgewicht um Punkt B

Die erste Gleichgewichtsbedingung, \( \sum M^{(B)} \stackrel{!}{=} 0 \), betrachtet das Momentengleichgewicht um den Punkt B.

Für die Berechnung des Moments verwendet man die Kräfte, die ein Drehmoment um den Punkt B erzeugen. Die vertikale Lagerkraft \( F_{A_{y}} \) bei A erzeugt ein Drehmoment um B, das mit dem Abstand von B 2L (doppelter Abstand L von B) multipliziert wird. Die Richtung dieses Moments hängt von der Richtung der Kraft \( F_{A_{y}} \) ab und wird als gegen den Uhrzeigersinn angenommen, daher \( -F_{A_{y}} \cdot 2L \).

Die Streckenlast \( q_0 \) erzeugt ebenfalls ein Drehmoment um B. Die resultierende Kraft der gleichmäßig verteilten Last über 2L ist \( q_0 \cdot 2L \) und ihr Angriffspunkt liegt in der Mitte der Streckenlast, also \( L \) von B entfernt. Das Moment der Streckenlast bezogen auf B ist dann \( q_0 \cdot 2L \cdot L \).

Die Dreieckslast mit der Höhe \( q_0 \) und der Basis \( L \) hat eine resultierende Kraft von \( \frac{1}{2}q_0L \), da die Fläche eines Dreiecks \( \frac{1}{2} \cdot \text{Basis} \cdot \text{Höhe} \) ist und ihr Angriffspunkt \( \frac{2}{3}L \) vom längsten Rand entfernt ist oder \( \frac{1}{3}L \) von Punkt B, da sie sich über die Länge \( L \) von B bis zum Ende des Balkens erstreckt. Das Moment dieser Kraft um B ist also \( q_0 L \cdot \frac{L}{2} \) oder \( \frac{1}{2}q_0L^2 \).

Das Gleichgewicht der Momente um B lautet dann:
\( -F_{A_{y}} \cdot 2L + q_0 \cdot 2L^2 - \frac{1}{2}q_0L^2 = 0 \)

Schritt 2: Vereinfachung und Auflösung nach \( F_{A_{y}} \)

Vereinfachen der obigen Gleichung ergibt:
\( -F_{A_{y}} \cdot 2L + \frac{3}{2}q_0L^2 = 0 \)

Umgestellt nach \( F_{A_{y}} \) ergibt:
\( F_{A_{y}} = \frac{3}{4}q_0L \)

Schritt 3: Horizontal- und Vertikalkräftegleichgewicht

Das Gleichgewicht der horizontalen Kräfte (\( \sum F_{x} \)) sagt aus, dass keine horizontalen Kräfte wirken, da keine gegeben sind. Daher ist \( F_{B_{x}} = 0 \).

Das Gleichgewicht der vertikalen Kräfte (\( \sum F_{y} \)) betrachtet alle vertikalen Kräfte:
\( F_{A_{y}} + F_{B_{y}} - q_0 \cdot 2L - \frac{1}{2}q_0L = 0 \)

Mit \( F_{A_{y}} = \frac{3}{4}q_0L \) eingesetzt, ergibt sich:
\( \frac{3}{4}q_0L + F_{B_{y}} - 2q_0L - \frac{1}{2}q_0L = 0 \)

Nach \( F_{B_{y}} \) auflösen ergibt:
\( F_{B_{y}} = 2q_0L + \frac{1}{2}q_0L - \frac{3}{4}q_0L = \frac{9}{4}q_0L \)

Zusammenfassend hat man die Lagerreaktionen wie folgt bestimmt:
- \( F_{A_{y}} = \frac{3}{4}q_0L \)
- \( F_{B_{x}} = 0 \)
- \( F_{B_{y}} = \frac{9}{4}q_0L \)

Diese Ergebnisse folgen aus dem Anwenden der Gleichgewichtsbedingungen für Momente und Kräfte auf das System.