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In folgender Grafik sollen die Kräfte F1 und F2 ermittelt werden:

Bild Mathematik

Fg beträgt 150 000 N und Fl 60 000 N.

Ansatz/Problem:

Ich habe das ganze versucht so zu lösen wie ich es in den letzten Tagen gelernt habe. Ich stelle erstmal die Gleichgewichtsbedingung der äußeren Kräfte auf:
FR= F1+F2-Fg-Fl = 0

Nun die Gleichgewichtsbedingung der Drehmomente bezüglich des Drehpunktes F2 (man soll ja einen den Drehpunkt so wählen das ein Hebelarm einer unbekannten Kraft = 0 wird):

MR = +Fg*5 m -Fl*15 m-F1*2 = 0
Auflösen nach F1 = -75 000 N

F1 nun wieder in den Gleichgewichtsbedingungen der äußeren Krafte einsetzen und dann nach F2 auflösen:

FR = -750 000 N+F2-150000 N-60000 N = 0
Auflösen nach F2 = 285 000 N

Da war mein Ansatz so etwas zu lösen da es auch so in den Aufgaben davor war z.B. bei einer Brücke.

Habe nun aber die Lösung erhalten und bin überrascht da man scheinbar keinen Drehpunkt ausgesucht hat sondern es steht dort geschrieben:

MR = +Fg*5 m -Fl*15 m -F1*2 m + F2*2 = 0

Auflösen nach F1 und F2 ergibt:

F1 = 67 500 N

F2 = 142 500 N

Jetzt bin ich aber sehr überrascht da hier kein Drehpunkt ausgewählt- (wie empfohlen wurde) und irgendwie ganz Korrekt nach 2 Unbekannten auflöst wurde. Wie soll das gehen?

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Antwort mit KI erzeugt

Lösung der Aufgabe mit korrektem Ansatz:

Um die Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) in dem gegebenen System zu bestimmen, müssen wir zwei Bedingungen nutzen: die Gleichgewichtsbedingung der Kräfte und die Gleichgewichtsbedingung der Momente (Drehmomente). Dein Ansatz ist grundsätzlich richtig, jedoch scheint es bei der Anwendung und Interpretation der Ergebnisse ein Missverständnis zu geben.

Gleichgewichtsbedingung der Kräfte:

Das Gleichgewicht der Kräfte in der vertikalen Achse (keine horizontalen Kräfte sind vorhanden) wird durch folgende Gleichung ausgedrückt:

\( F_1 + F_2 - F_g - F_l = 0 \)

wobei \(F_g = 150,000 \, \text{N}\) und \(F_l = 60,000 \, \text{N}\).

Gleichgewichtsbedingung der Momente:

Die Gleichgewichtsbedingung der Momente wird benutzt, um die Momente zu berechnen, die um einen ausgewählten Drehpunkt wirken. Der Schlüssel bei der Anwendung dieser Bedingung ist die Auswahl eines Drehpunktes, der so viele Unbekannte wie möglich eliminiert. Die Originalanalyse hatte einen Fehler in der Berechnung des Moments. Es scheint auch, dass die Interpretation, wie man ohne die explizite Auswahl eines Drehpunktes nach zwei Unbekannten auflöst, verwirrend war. Tatsächlich wählt die korrekte Lösung implizit einen Drehpunkt, um die Momentengleichung zu formulieren. Die Wahl eines geeigneten Drehpunktes (zum Beispiel am Ort von \(F_2\)) vereinfacht die Berechnung, weil der Hebelarm von \(F_2\) dann null ist und folglich \(F_2\) nicht in die Gleichung eingeht.

Korrekte Momentengleichung:

In der korrigierten Analysis, unter Verwendung eines Drehpunkts an der Stelle von \(F_2\), würde die Momentengleichung wie folgt aussehen, wenn man annimmt, dass die Distanzen korrekt aus der Frage interpretiert werden (die genauen Längenangaben werden in deiner Frage aus dem Kontext genommen):

\( M_R = F_g \times 5\,m - F_l \times 15\,m - F_1 \times 2\,m = 0 \)

Dein Fehler trat auf, als du versucht hast, \(F_1\) direkt zu berechnen, ohne die tatsächlichen Werte einzusetzen und eine fehlerhafte Rechnung präsentiert hast.

Um das korrekt zu lösen, setzen wir die Werte für \(F_g\) und \(F_l\) ein und lösen nach \(F_1\) auf:

\( 150,000\,N \times 5\,m - 60,000\,N \times 15\,m - F_1 \times 2\,m = 0 \)

Dies führt zu:

\( 750,000\,N\,m - 900,000\,N\,m = F_1 \times 2\,m \)

\( -150,000\,N\,m = F_1 \times 2\,m \)

\( F_1 = \frac{-150,000\,N\,m}{2\,m} = -75,000\,N \)

Der negative Wert deutet an, dass die Richtung von \(F_1\) entgegen der angenommenen Richtung ist. Hier scheint ein Fehler in der Anwendung bzw. in dem Verständnis der Fragestellung vorzuliegen.

Korrektur und Bestimmung von \(F_2\):

Für \(F_1\) und \(F_2\) gleichzeitig zu lösen, benötigen wir tatsächlich eine korrekte Momentengleichung, die alle Kräfte und ihre Hebelarme berücksichtigt. In deiner Originalfrage wurde versucht, die Analyse basierend auf nur einer Momentengleichung zu vereinfachen.

Die Aussage, dass man ohne einen Drehpunkt beide Kräfte direkt bestimmen kann, missversteht, wie statische Gleichgewichtsanalysen funktionieren. In Wirklichkeit wählen wir immer einen Drehpunkt für Momentengleichgewichtsberechnungen, aber wir können verschiedene Drehpunkte wählen, um verschiedene Unbekannte isoliert zu berechnen.

Es scheint hier ein fundamentaler Fehler in der Interpretation der Aufgabe oder ein Schreibfehler in den Ausgangsgleichungen zu sein. Die korrekte Lösung sollte eine Schritt-für-Schritt-Analyse einschließen, die jeweils eine Unbekannte isoliert, basierend auf systematischen Gleichgewichtsbetrachtungen der Kräfte und Momente. Ohne vollständige Details und eine korrekte Anwendung der grundlegenden Prinzipien der Statik kann die angegebene "Lösung" der Frage nicht als korrekt angesehen werden.
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