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Hey Leute,


Für den dargestellten Träger sind die Spannungen (Beanspruchungen) über den
Querschnitt c-c zu ermitteln.
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Danke für Hilfe

von

EDIT: https://www.nanolounge.de/schreibregeln Bitte vorhandenen Text auch abtippen. 

ok aber ic weiße nicht wie kann ein Text schreiben

Benutze die Tastatur ;) 

1 Antwort

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Hallo,

Berechne zunächst die Kräfte und Momente, die auf das Lager \(A\) wirken. Dazu wähle ich ein Koordinatensystem mit Ursprung in \(A\) und horizontal liegender X-Achse. Der Kraftvektor \(\vec{F}\) ist dann

$$\vec{F}= \begin{pmatrix} \frac12 \sqrt{3} \\ -\frac12\end{pmatrix}F$$ Da sonst keine Kräfte im System wirken, wirkt dieser auch direkt auf das Lager. Kommt noch das Moment hinzu:

$$M = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{pmatrix} l \\ -a \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac12 \sqrt{3} \\ -\frac12\end{pmatrix}F = \left( -\frac12 l + \frac12 a \sqrt{3} \right)F=\frac12 lF\left( \frac{a}{l} \sqrt{3} -1 \right)$$

Zu den Spannungen kommt man über die Fläche \(Q=b \cdot h\) und das Widerstandsmoment \(W = b \cdot h^2/6\) des Balkenquerschnitts. Die Zug- bzw. Normal-Spannung aus der Zuglast ist

$$\sigma_{N} = \frac{F_x}{Q} = \frac{\frac12 \sqrt{3} F}{b \cdot h } = \frac{25}{2} \sqrt{3}\frac{\text{N}}{\text{mm}^2}$$

Die Schubspannung \(\sigma_S\) ist

$$\sigma_{S} = \frac{F_y}{Q} = \frac{\frac12 F}{b \cdot h} = \frac{25}{2}\frac{\text{N}}{\text{mm}^2}$$

und die (maximale) Spannung aus dem Moment

$$\sigma_{M} = \left|\frac{M}{W} \right| = \left|\frac{\frac12 lF\left( \frac{a}{l} \sqrt{3} -1 \right)}{b \cdot h^2/6} \right| = \left| \frac{375}{8}\left(  \sqrt{3}-5\right) \frac{\text{N}}{\text{mm}^2} \right| $$

Das Moment wirkt mathematisch negativ - bzw. die Kraft zieht den Balken nach unten. Da der Balken symmetrisch ist, stellt sich oben und unten der selbe Betrag der Normalkraft aus dem Moment ein. Zusammen mit der (positiven) Zugspannung wird sich das Maximum also an der Oberseite des Balkens befinde. Die Zugspannung \(\sigma_{\text{Zug,oben}}\) dort ist

$$\sigma_{\text{Zug,oben}} = \sigma_N + \sigma_M = \frac{25}{8} \left( 75  - 11\sqrt{3} \right)\frac{\text{N}}{\text{mm}^2}$$

was genau dem angegebenen Ergebnis entspricht. Streng genommen sind wir noch nicht am Ende, da \(\sigma_S\) nicht berücksichtigt wurde. Hier würde ihr Einfluss auf die Gesamtspannung aber nur ca \(1 \text{N/mm}^2\) betragen und ist damit vernachlässigbar. Ich nehme an, ihr habt den Spannungstensor und/oder den Mohrschen Spannungskreis noch nicht gehabt.

Die Spannung unten schaffst Du jetzt alleine.

Gruß Werner

von 4,4 k

dankeschön für dein Hilfe

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