Hallo Donaugold,
bei der ersten Rechnung komme ich mit den gleichen Zahlen auf \(m\approx 0,502 \text{kg}\). Für eine Feder gilt ganz allgemein, dass die Kraft \(F\) gleich der Federkonstante \(D\) mal der Auslenkung \(s\) ist:
$$F = D \cdot s$$
Umso mehr man daran zieht, desto mehr Kraft muss man aufbringen und umso größer die Federkonstante, desto steifer wird die Feder. Die Kraft \(F\) ist hier das Gewicht der Masse \(F=G=m \cdot g\). Folglich ergibt sich der Abstand \(a\) zur Ruhelage
$$F= m \cdot g = D \cdot a \quad \Rightarrow a = \frac{m \cdot g}{D} = \frac{0,502 \text{kg} \cdot 9,80665 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{25 \frac{\text{N}}{\text{m}}}\approx 19,8 \text{cm}$$
Um die (b) zu lösen, gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten. Energieerhaltungssatz steht auf Deinem Zettel. Die Energie \(E\) des Systems ist die Summe von Federenergie und kinetischer Energie. Die Federenergie \(E_F\) berechnet sich aus dem Integral Kraft \(F\) über Weg \(s\) - wobei ich hier \(s\) als nach unten(!) zeigend definiere. Es ist
$$E_{F} = \int F \space \text{d}s = \int D \cdot s \space \text{d}s = \frac12 D\cdot s^2 + E_{F0}$$
\(E_{F0}\) ist die Energie, die bei der Auslenkung von \(s=0\) noch in der Feder steckt. Da diese konstant ist, kann man das im folgenden vernachlässigen. Wichtig: die potentielle Energie der Masse im Schwerefeld der Erde spielt keine Rolle mehr, da wir von der Ruhelage der Feder plus Masse rechnen. Hier ist \(s=0\) und in dieser Position ist die Feder bereits vorgespannt. Für die Summe der (veränderlichen) Energien bleibt demnach
$$E = \frac12 D \cdot s^2 + \frac12 m \cdot v^2$$
Elongation bedeutet, dass an der Feder gezogen wird, daher ist \(s=+0,1\text{m}\). Ich setzte alle Werte ein und bekomme:
$$\begin{aligned}E &= \frac12 25 \frac{\text{N}}{\text{m}} \cdot (0,1\text{m})^2+ \frac12 0,502 \text{kg} \cdot \left( 0,79\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 \\ &\approx 0,2815 \text{Nm}\end{aligned}$$
Da an der Position der maximalen Auslenkung \(s=\hat s\) und \(v=0\) ist gilt (s. o. Energiegleichung)
$$E= \frac{D}{2} {\hat s}^2$$
so kann man die Amplitude \(\hat s\) berechnen. Es ist \(\hat s \approx 15,0\text{cm}\) berechnen. In der Ruhelage ist \(s=0\) und \(v=v_{\max}\), also
$$E = \frac12 m \cdot v_{\max}^2 \quad \Rightarrow v_{\max} = 1,06 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$
(c) lässt sich auch über die Energieerhaltung berechnen. Es ist
$$E_F=\frac12 D \cdot s^2 = E - \frac12 m \cdot v^2 $$
Für \(v=0,3\text{m}/\text{s}\) bekomme ich \(s=14,4\text{cm}\) heraus.
(d) Rückstellkraft ist \(F=D \cdot s = 25 \text{N}/\text{m} \cdot 14,4\text{cm} \approx 3,60 \text{N}\) und die Beschleunigung ist \(a= F/m \approx 7,2 \text{m}/\text{s}^2\).
Ich habe etwas andere Werte als auf Deinem Foto, das liegt an den unterschiedlichen Werten für die Masse. Rechne das bitte noch mal nach.
Gruß Werner
