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Ein Boot (500kg) ist Wind und Wasser ausgesetzt. Seine Bahn ist gerade. Die ausgeübten Kräfte (Wasser, Wind) sind ausgeglichen. Wenn die Geschwindigkeit sichvon 5 zu 10 m/s auf einer Distanz von 75 m erhöht , wie viel beträgt dann die Durchschnittsgeschwindigkeit dieser Kraft?
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1 Antwort

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Guten Abend,

Du fragst: "wie viel beträgt dann die Durchschnittsgeschwindigkeit dieser Kraft? " zunächst einmal hat eine Kraft keine Durchschnittsgeschwindigkeit. Ich unterstelle mal, dass das Boot über 75m durch eine konstante Kraft von 5m/s auf 10m/s beschleunigt werden soll. Bei einer konstanten Kraft ist die Beschleunigung auch konstant. Für die Geschwindigkeit \(v(t)\) gilt dann \(v(t)=a \cdot t + v_0\). Die zurück gelegte Strecke in der Zeit \(t_E\) ist:

$$s= \int_0^{t_E} v(t) \space dt = \int_0^{t_E} (a \cdot t + v_0) \space dt = \frac{a}{2}t_E^2 + v_0 t_E$$

Am Anfang ist die Geschwindigkeit \(v_0=5\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \) und am Ende
\(v(t_E)=a \cdot t_E + v_0=10\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \). Aus letzterem folgt:

$$a=\frac{5}{t_E}\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}$$

daraus und aus \(s=75 \mbox{m}\) folgt

$$75 \mbox{m} = \frac{5}{2} \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} t_E + 5 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} t_E \quad \Rightarrow t_E=10\mbox{s}$$

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist \(\bar{s}=\frac{75 \mbox{m}}{10\mbox{s}} = 7,5 \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\).

Gruß Werner

von 4,2 k

Wunderschöne Herleitung von (5 + 10) / 2  =  7,5

.. das weiß ich auch! Aber kann man das einfach so voraussetzen, ohne es zu zeigen?

Klar hätte ich frech behaupten können, dass die Durchschnittsgeschwindkeit das arithmetische Mittel der Anfangs- und Endgeschwindigkeit ist. Warum aber ist das bei linearer Zunahme der Geschwindigkeit über die Zeit der Fall und nicht bei der linearen Zunahme über die Strecke?

Kannst Du das in ein oder zwei Sätzen belegen?

Du leitest die Flächeninhaltsformel des Trapezes mit Integralrechnung her.

Stimmt - es doch immer wieder faszinierend, wie unterschiedliche Verfahren in der Mathematik zum gleichen (und richtigen) Ergebnis führen ;-)

Der Aufgabentitel verlangt ja, die durchschnittliche Kraft (und übrigens nicht irgendeine durchnittliche Geschwindigkeit) zu berechnen.
Aus den in der Aufgabe gegebenen Daten lässt sich vermuten, dass mit "durchschnittlicher Kraft" das Wegintegral  1/(s2 - s1) · s1s2 F(s) ds  (vermutlich intendierte Berechnungsmethode : Energiesatz) gemeint ist.

"Durchschnittliche Geschwindigkeit" (siehe deine Berechnung oben) und  "durchschnittliche Beschleunigung" sind aber als zeitliche Mittelwerte definiert, warum die "durchschnittliche Kraft" also nicht durch das Integral   1/(t2 - t1) · t1t2 F(t) dt  ?   Dann wäre immerhin  F = m·a erfüllt.
Allerdings würde dann F vom (nicht gegebenen) zeitlichen Verlauf der Kraft abhängen.

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