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Hallo zusammen,

habe zu folgender Aufgabe nochmal eine Frage an Euch:
Bild MathematikIch komme da auf ein anderes Ergebnis als die Lösung vorgibt.
Kann mir jemand das mal vorrechnen?

Besten Dank!

von

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Hallo Mr-Math,

Durch die linke Spannungsquelle fließt der Strom \(I_1\) und durch die rechte \(I_2\). Nach den Maschenregeln gilt für den rechten Kreis

$$U_3 + I_2 \cdot 3\mbox{k}\Omega = 5\mbox{V}$$

und für den linken

$$U_3 + I_1 \cdot 4\mbox{k}\Omega = 4\mbox{V}$$

und die Spannung \(U_3\) am Widerstand \(R_3\) ist

$$U_3 = (I_1 + I_2)R_3$$

\(R_3\) ist zwar gegeben, ich setze das aber noch nicht ein, da ich die allgemeine Lösung für die Zweipolersatzschaltung brauche!

Einsetzen von \(U_3\) in die ersten beiden Gleichungen ergibt

$$R_3 \cdot I_1 + (3\mbox{k}\Omega + R_3)\cdot I_2 = 5\mbox{V}$$

$$(R_3+4\mbox{k}\Omega)\cdot I_1 + R_3 \cdot I_2 = 4\mbox{V}$$

mit den Lösungen für \(I_1\) und \(I_2\)

$$I_1 = \frac{1}{D}(12 \mbox{kV}\Omega - 1\mbox{V}\cdot R_3)$$

$$I_2=\frac{1}{D}(20 \mbox{kV}\Omega + 1\mbox{V}\cdot R_3)$$

mit \(D=12\mbox{M}\Omega^2 + 7\mbox{k}\Omega \cdot R_3 \)

Einsetzen in die Ausgangsgleichung von \(U_3\) ergibt

$$U_3 = \frac{1}{D}(32 \mbox{kV}\Omega)R_3$$

Jetzt setze ich \(R_3=1\mbox{k}\Omega\) ein und erhalte \(U_3=(32/19)\mbox{V} \approx 1,68\mbox{V}\) mit einer Leistung von \(P_3=\frac{{U_3}^2}{R_3}\approx 2,84\mbox{mW}\)

Die Werte für die Ersatzschaltung erhalte ich aus der Gleichung für eine Spannungsquelle mit Innenwiderstand \(R_i\), die mit einem Widerstand von \(R_3\) belastet wird. Es gilt ganz allgemein

$$U_3=\frac{U_0 \cdot R_3}{R_i+R_3}$$

der Vergleich mit der Gleichung für \(U_3\) von oben

$$U_3=\frac{32 \mbox{kV}\Omega \cdot R_3}{12\mbox{M}\Omega^2 + 7\mbox{k}\Omega \cdot R_3}=\frac{\frac{32}{7} \mbox{V} \cdot R_3}{\frac{12}{7}\mbox{k}\Omega +  R_3}$$

liefert die Werte \(U_0=\frac{32}{7} \mbox{V}\approx 4,57 \mbox{V} \) und \(R_i=\frac{12}{7}\mbox{k}\Omega \approx 1,71\mbox{k}\Omega\) für die Ersatzschaltung.

Ich hoffe, dass ich mich nicht verrechnet habe. Die Werte erscheinen mir jedenfalls von der Größenordnung sinnvoll. Bin gespannt ob sie mit Deinem Ergebnis oder der vorgegebenen Lösung über einstimmen.

Gruß Werner


von 3,4 k
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Hallo, hier lediglich als Ergänzung ein Lösungsweg, der etwas schneller zum Ergebnis führt:

Statt mit der Ersatzspannungsquelle zu rechnen, geht es etwas schneller, wenn man mit der Ersatzstromquelle rechnet.

Für die Ersatzstromquelle wird der Kurzschlußstrom benötigt und der Innenwiderstand der Quelle, wobei der Innenwiderstand identisch ist wie bei der Ersatzspannungsquelle.

Berechnung des Kurzschlußstroms Ik:

Ik = U1/(R1 + R2) + U2/(R4 + R5) = 4V/4KΩ + 5V/3KΩ = 2,666 mA

Berechnung des Innenwiderstandes Ri:

Ri = (R1 + R2) parallel (R4 + R5) = 1,714 KΩ

Mit dem Stromteilersatz wird IR3 berechnet:

IR3 = Ik • Ri /(Ri + R3) = 2,666 mA • 1,714 KΩ/(1,714 KΩ + 1 KΩ) = 1,68 mA

Die Leistung in R3:

PR3 = (IR3)2 • R3 = (1,68 mA)2 • 1 KΩ = 2,836 mW

Gruß, highech

von

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