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Aufgabe:

Wir betrachten eine Kette von \( N+1 \) Kugeln mit Koordinaten \( \vec{r}_{i}, i=0, \ldots, N \), die durch Federn mit der Federkonstante \( D \) verbunden sind. Das Potential einer Feder ist durch \( V(d)=\frac{1}{2} D(d- \) \( \left.d_{0}\right)^{2} \) gegeben, wobei \( d \) der Abstand der Kugeln und \( d_{0} \) die Länge der entspannten Feder ist. Die erste Kugel sei am Ursprung, \( \vec{r}_{0}=(0,0,0) \), und die letzte bei \( \vec{r}_{N}=(L, 0,0) \) eingespannt. Wir wollen jetzt das Problem für endliches \( N \) lösen.

a) Wie betrachten zuerst den Fall, dass sich die Kugeln nur entlang der \( x \)-Achse bewegen können. Stellen Sie die Lagrangefunktion der Kugeln 1 bis \( N-1 \) auf und geben Sie die \( N-1 \) Euler-Lagrange Gleichungen an.

b) Ignorieren Sie vorerst die Randbedinungen und lösen Sie die Gleichungen mit dem Ansatz
\( x_{n}(t)=x_{n}^{0}+\operatorname{Re}\left[a e^{i k x_{n}^{0}-\omega t}\right] \quad \text { mit } \quad x_{n}^{0}=L \frac{n}{N}, a \in \mathbb{C} \)
und bestimmen sie die zwei möglichen Werte von \( \omega \) als Funktion von \( k \). Kombinieren Sie die Lösungen um die Randbedingung zu erfüllen (siehe Vorlesung). Welche Werte von \( k \) und \( \omega \) treten hierbei auf?

c) Nehmen wir nun an, die Kugeln können sich zusätzlich auch in \( y \)-Richtung bewegen. Im Allgemeinen gebe es eine endliche Vorspannung der Kette, d.h. \( d \geq d_{0} \) (Ohne Punkte: Was passiert falls \( d<d_{0} \) ?). Betrachten Sie den Fall kleiner Auslenkungen und nähern Sie bis zu quadratischer Ordnung in \( x \) und \( y \)-Richtung. Stellen Sie erneut die Lagrangefunktion der Kugeln 1 bis \( N-1 \) auf und geben Sie die \( N-1 \) Euler-Lagrange Gleichungen an.

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a) Aufstellung der Lagrangefunktion und Euler-Lagrange Gleichungen

Für die Bewegung der Kugeln entlang der \(x\)-Achse können wir die kinetische Energie (\(T\)) und die potentielle Energie (\(V\)) der Kugeln berücksichtigen, um die Lagrangefunktion \(\mathcal{L} = T - V\) aufzustellen. Die kinetische Energie einer Kugel \(i\) mit der Masse \(m\) und Geschwindigkeit \(\dot{x}_i\) ist \(\frac{1}{2} m \dot{x}_i^2\), und die potentielle Energie zwischen zwei benachbarten Kugeln \(i\) und \(i+1\) mit der Federkonstanten \(D\) und dem Abstand \(d = x_{i+1} - x_i\) ist \(\frac{1}{2} D (d - d_0)^2\).

Daher können wir die Lagrangefunktion für die Kugeln 1 bis \(N-1\) wie folgt schreiben:

\( \mathcal{L} = \sum_{i=1}^{N-1} \frac{1}{2}m\dot{x}_i^2 - \sum_{i=0}^{N-1} \frac{1}{2} D (x_{i+1} - x_i - d_0)^2 \)

Die Euler-Lagrange-Gleichungen erhalten wir, indem wir die partielle Ableitung der Lagrangefunktion nach \(x_i\) und deren Zeitableitung gleichsetzen. Für eine Koordinate \(x_i\) der Kugel \(i\) gilt:

\( \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_i}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i} = 0 \)

Daraus folgt für jede Kugel \(i=1, \ldots, N-1\):

\( m\ddot{x}_i = D[(x_{i+1} - x_i - d_0) - (x_i - x_{i-1} - d_0)] \)

Das sind die \(N-1\) Euler-Lagrange Gleichungen für die Bewegung der Kugeln.

b) Lösung der Gleichungen mit dem gegebenen Ansatz

Der Ansatz für \(x_n(t)\) lautet:

\( x_n(t) = x_n^0 + \text{Re}[a e^{ikx_n^0 - i\omega t}] \)

mit \(x_n^0 = L\frac{n}{N}\) und \(a \in \mathbb{C}\). Setzen wir diesen Ansatz in die Bewegungsgleichungen ein, ergeben sich die charakteristischen Frequenzen \(\omega\).

Die Periodizität und die Randbedingungen legen die möglichen Werte für \(k\) fest. Für eine Kette gefesselt am Anfang und am Ende gilt, dass \(k\) Werte annehmen muss, die sich aus der Bedingung \(\sin(kL) = 0\) ergeben, was \(k = \frac{m\pi}{L}\) für \(m = 0, 1, \ldots, N\) impliziert. Daraus folgen spezifische \(\omega\)-Werte, oft in der Form \(\omega = \sqrt{\frac{D}{m}}|k|\), abhängig vom spezifischen physikalischen System und den Annahmen, die für die Näherung gemacht wurden.

c) Lagrangefunktion und Euler-Lagrange Gleichungen für Bewegungen in \(x\) und \(y\)-Richtungen

Bei kleinen Auslenkungen in \(x\) und \(y\)-Richtung müssen wir die Änderungen im Abstand zwischen Kugeln basierend auf beiden Auglenkungskomponenten berücksichtigen. Die quadrierten Differenzen können bis zur zweiten Ordnung genähert werden, d.h., \((\Delta x)^2 + (\Delta y)^2\approx (d_0 + \epsilon)^2\), wobei \(\epsilon\) die Änderung der Länge der Feder ist.

Die Lagrangefunktion enthält jetzt kinetische Terme für Bewegungen in beiden Richtungen und potentielle Terme, die die Federkräfte in zwei Dimensionen repräsentieren.

Für die kinetische Energie in beiden Richtungen gilt:

\( \mathcal{L}_T = \sum_{i=1}^{N-1} \frac{1}{2}m(\dot{x}_i^2 + \dot{y}_i^2) \)

Die potentielle Energie, die nun kleine Auslenkungen in \(x\) und \(y\) beinhaltet, kann geschrieben werden als:

\( \mathcal{L}_V = -\sum_{i=0}^{N-1} \frac{1}{2} D ((x_{i+1} - x_i)^2 + (y_{i+1} - y_i)^2 - d_0^2) \)

Die Euler-Lagrange-Gleichungen werden dann ähnlich abgeleitet wie im eindimensionalen Fall, berücksichtigen jedoch die Beiträge von Auslenkungen in beiden \(x\) und \(y\) Richtungen für die \(N-1\) Kugeln.
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