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Aufgabe:

Mit einer korrigierten Linse (keine Linsenfehler!) mit Brennweite f = 40 cm und Durchmesser D = 4, 0 cm soll von einem rot leuchtenden Gegenstand (λ = 650 nm) ein zweifach verkleinertes reelles Bild erzeugt werden.

Wie weit müssen zwei Punkte im Gegenstand mindestens auseinander liegen, damit man sie im Bild getrennt wahrnehmen kann?


Ansatz/Problem:

Ich habe folgendes berechnet:

Vergrößerung $$V=\frac{1}{2}=\frac{B}{G}=\frac{b}{g}$$ mit B=Bild, G=Gegenstand, b=Bildweite, g=Gegenstandsweite. Daraus folgt, dass $$b=\frac{g}{2}$$mit $$\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}$$

erhalte ich $$g=3*f \implies b=\frac{3f}{2}$$.

Jetzt weiss ich aber nicht weiter.

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Antwort mit KI erzeugt

Lösung der Aufgabe

Um zu bestimmen, wie weit zwei Punkte im Gegenstand mindestens auseinander liegen müssen, damit sie im Bild getrennt wahrgenommen werden können, nutzt man das Rayleigh-Kriterium. Dieses Kriterium ist besonders relevant in der Optik für die Auflösung von Linsensystemen und beruht auf der Beugungsbegrenzung. Für eine kreisförmige Apertur wie die Linse in dieser Aufgabe, lautet das Rayleigh-Kriterium:

\( \theta = 1.22 \frac{\lambda}{D} \)

wobei \(\theta\) der kleinste Winkel zwischen zwei Punkten ist, bei dem sie gerade noch aufgelöst werden können, \(\lambda\) die Wellenlänge des Lichts und \(D\) der Durchmesser der Linse ist.

Das Kriterium gibt den Winkel in Radiant an, unter dem die beiden Punkte gerade noch getrennt wahrgenommen werden können. Um den minimalen Abstand im Gegenstand zu bestimmen, der unter diesem Winkel aufgelöst wird, verwenden wir die Gegenstandsweite \(g\), die wir bereits als \(3f\) errechnet haben, und das kleine Winkelnäherung \(\theta \approx \tan(\theta) = \frac{\text{minimaler Abstand}}{g}\).

Setzen wir die gegebenen und errechneten Werte ein:

- \(f = 40 \, \text{cm}\) (Brennweite)
- \(D = 4,0 \, \text{cm}\) (Durchmesser)
- \(\lambda = 650 \, \text{nm} = 650 \cdot 10^{-9} \, \text{m}\)

Das Rayleigh-Kriterium wird eine minimale Winkelauflösung geben:

\( \theta = 1.22 \frac{650 \cdot 10^{-9}}{4,0 \cdot 10^{-2}} = 1.22 \frac{650}{4,0} \cdot 10^{-7} \, \text{rad} \)

\(g = 3f = 3 \cdot 40 \, \text{cm} = 120 \, \text{cm} = 1,2 \, \text{m}\)

So ergibt sich als minimaler Abstand im Gegenstand \(d_{min}\):

\( d_{min} = \theta \cdot g = 1.22 \frac{650}{4,0} \cdot 10^{-7} \cdot 1,2 \, \text{m} \)

Nun berechnen wir den minimalen Abstand \(d_{min}\):

\( d_{min} = 1.22 \cdot \frac{650}{4} \cdot 10^{-7} \cdot 1.2 = 1.22 \cdot 162.5 \cdot 10^{-7} \cdot 1.2 \)

\( d_{min} = 237.25 \cdot 10^{-7} \cdot 1.2 = 284.7 \cdot 10^{-7} \, \text{m} = 28.47 \cdot 10^{-6} \, \text{m} = 28.47 \, \mu\text{m} \)

Zusammengefasst bedeutet dies, dass zwei Punkte des rot leuchtenden Gegenstands mindestens \(28.47 \, \mu\text{m}\) auseinander liegen müssen, um im Bild getrennt wahrgenommen werden zu können.
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