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Aufgabe:

Bei einem Tandem-Van-de-Graaf-Beschleuniger befindet sich eine positiv geladene, zylindrische Zentralelektrode in der Mitte des Beschleunigers (siehe Skizze). Die angelegte Spannung nehme von der Zentralelektrode aus entlang des Strahlrohres auf beiden Seiten bis auf Erdpotential \( (\phi=0) \mathrm{ab} \). Von der Ionenquelle aus in den Beschleuniger eintretende, negativ geladene Ionen werden zunächst zur Zentralelektrode hin beschleunigt. Innerhalb der Zentralelektrode findet eine Umladung der Ionen statt, bei der mehrere Elektronen abgegeben werden (ElektronStripping). Die anschließend positiv geladenen Ionen werden dann im zweiten Teil des Beschleunigers weiter auf die finale Energie beschleunigt.

Der Tandem-Van-de-Graaf-Beschleuniger am Institut für Kernphysik hat eine Gesamtlänge von \( 13.5 \mathrm{~m} \), die Zentralelektrode ist dabei \( 1.5 \mathrm{~m} \) lang. Von der Zentralelektrode aus fallt das Potential entlang des Strahlrohrs schrittweise alle \( 3 \mathrm{~cm} \) um jeweils \( \frac{1}{200} U \) ab.

a) Skizzieren Sie den Verlauf des Betrags des Potentials und des elektrischen Feldes entlang der Strahlachse innerhalb des Beschleunigers, wenn an der Zentralelektrode eine Spannung von \( U=10 \mathrm{MV} \) anliegt.

b) Welche Beschleunigung erfährt ein einfach negativ geladenes \( { }^{24} \mathrm{Mg} \)-Ion \( (m=24 u) \) beim Eintritt in den Beschleuniger, sowie nach dem Verlust von 6 Elektronen beim Austritt aus der Zentralelektrode bei \( U=10 \) MV? Vernachlässigen Sie die unterschiedlichen Elektronenmassen. \( \left(1 u=1.66 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right. \) )

c) Berechnen Sie die Endenergie und Endgeschwindigkeit des \( { }^{24} \mathrm{Mg} \)-Ions nach dem Durchlaufen des Beschleunigers. Nehmen Sie dazu an, dass die kinetische Energie beim Eintritt in den Beschleuniger vernachlässigbar klein ist.

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a) Skizzieren des Betrags des Potentials und des elektrischen Feldes

Um den Verlauf des Betrags des Potentials entlang der Strahlachse innerhalb des Beschleunigers zu skizzieren, berücksichtigen wir, dass das Potential in der Mitte der Zentralelektrode (an der Stelle des höchsten Betrags von \(U\)) \(10 \mathrm{MV}\) beträgt und bis auf Erdpotential (\(0\mathrm{V}\)) an beiden Enden des Beschleunigers abfällt. Der Potentialverlauf ist somit in der Mitte des Beschleunigers am höchsten und fällt beidseitig ab.

Das elektrische Feld \(E\), das durch den Gradienten des Potentials gegeben ist, zeigt in Richtung abnehmenden Potentials und hat seinen höchsten Betrag am Beginn und am Ende der Beschleunigungsröhre und nimmt innerhalb der Zentralelektrode ab, wo das Potential maximal ist und weniger stark variiert. Die Form des elektrischen Feldes ist daher an den Enden spitz und flacht zur Mitte hin ab.

b) Beschleunigung des \(^{24}\mathrm{Mg}\)-Ions

Um die Beschleunigung zu berechnen, nutzen wir die Formel \(F=ma\) und die Tatsache, dass die Kraft \(F\) auf ein Ion durch das elektrische Feld \(E\) mit \(F=qE\) gegeben ist, wobei \(q\) die Ladung des Ions und \(E\) die Stärke des elektrischen Feldes ist.

Für ein einfach negativ geladenes Ion ist \(q=-e\), mit \(e=1.602\times10^{-19} \, \text{C}\).

Die Masse eines \(^{24}\mathrm{Mg}\)-Ions beträgt \(m=24u = 24 \times 1.66 \times 10^{-27} \, \text{kg} = 3.984 \times 10^{-26} \, \text{kg}\).

Beim Eintritt:
- \(F_{\text{ein}} = qE\)
- Da jedoch keine genauen Werte für \(E\) gegeben sind, nehmen wir an, dass \(E\) proportional zur abfallenden Spannung pro m Länge ist, was eine detaillierte Berechnung ohne konkrete Werte für \(E\) schwierig macht.

Beim Austritt nach Elektronenverlust:
- Das \(^{24}\mathrm{Mg}\)-Ion hat nun eine Ladung von \(q=+6e\), da es 6 Elektronen verloren hat.
- Die Beschleunigung kann wiederum mit \(F_{\text{aus}} = ma\) berechnet werden, die Kraft \(F\) hängt jedoch von \(E\) am Austrittspunkt ab, das hier nicht explizit gegeben ist.

c) Endenergie und Endgeschwindigkeit des \(^{24}\mathrm{Mg}\)-Ions

Die Endenergie eines Ions nach dem Durchlaufen des Beschleunigers kann mit der Formel \(W=qU\) berechnet werden, wobei \(q\) die Ladung des Ions nach dem Elektronenverlust und \(U\) die Spannung ist.

- \(q=+6e=6 \times 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
- \(U=10\, \text{MV} = 10 \times 10^{6} \, \text{V}\)

Daraus folgt für die Endenergie:
\(W = qU = 6 \times 1.602 \times 10^{-19} \times 10 \times 10^{6} = 96.12 \times 10^{-13} \, \text{J}\)

Um die Endgeschwindigkeit \(v\) zu berechnen, verwenden wir die Beziehung zwischen der kinetischen Energie und der Geschwindigkeit:
\(W = \frac{1}{2}mv^2\)

Daher:
\(v = \sqrt{ \frac{2W}{m} } = \sqrt{ \frac{2 \times 96.12 \times 10^{-13}}{3.984 \times 10^{-26}} }\)

Einsetzen der Werte ergibt:
\(v = \sqrt{ \frac{192.24 \times 10^{-13}}{3.984 \times 10^{-26}} } = \sqrt{ 48.24 \times 10^{13} } = \sqrt{ 4.824 \times 10^{15} } \, \text{m/s}\)

\(v ≈ 2.194 \times 10^{7} \, \text{m/s}\)

Daher beträgt die Endgeschwindigkeit des \(^{24}\mathrm{Mg}\)-Ions ungefähr \(2.19 \times 10^{7} \, \text{m/s}\).
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