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Mit φ wird der Umlenkwinkel bezeichnet, den ein Lichtstrahl beim Auftreffen auf einen kugelfömigen Wassertropfen erfährt (s. Abbildung).

Er wird durch durch die Funktion \( \varphi(\alpha) = \pi+2\alpha-4\cdot \arcsin{\left(\frac{\sin(\alpha)}{n}\right)} \) berechnet und hängt vom Einfallswinkel α ab.

Mit n ist die Brechungszahl bezeichnet, für rotes Licht ist n=1.331, für gelbes Licht ist n=1.333, für blaues Licht ist n=1.341 ...

Aufgabe 1:

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion φ für die Brechungszahl n = 1.333 .
Berechnen Sie anschließend die Ableitung für den Einfallswinkel α = 33°

Antwort: φ`(33°) = .........

Die Antwort muss auf 2 Nachkommastellen gerundet mit der auf 2 Nachkommastellen gerundeten exakten Lösung übereinstimmen!


Aufgabe 2:

Bestimmen Sie den Winkel α0 ∈  [0°; 90°], für den φ`(a0) = 0 ist.

Antwort: α0 =  ........(in Gradmaß)

Die Antwort muss auf 2 Nachkommastellen gerundet mit der auf 2 Nachkommastellen gerundeten exakten Lösung übereinstimmen!

Tipp: Verwenden Sie z.B. die Identität: sin2(α) + cos2(α) = 1

Ergänzung:
Bei diesem Einfallswinkel α0 hat die Funktion φ ein Minimum, d.h. besondes viele Strahlen mit der Farbe, die den Brechungsindex n=1.333 hat, werden in die Richtung φ(a0) umgelenkt. Damit läßt sich erklären, dass diese Farbe bei einem Regenbogen auf einem Kreis, der nur durch die Erdoberfläche begrenzt ist, besonders stark sichtbar ist. Der Winkel zwischen dem Licht der Sonne und dem Betrachter ist bei dieser Farbe 180° - α0.

Bild Mathematik

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