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Aufgabe:

Auf einem fahrbaren Wagen ist ein Geschütz montiert. Der Wagen und das Geschütz ohne Kanonenkugel wiegen zusammen \( m_{w}=250 \mathrm{~kg} \). Die Mündungsöffnung der Kanone liegt auf der Höhe \( h=2 \mathrm{~m} \). Vom stehenden Wagen wird eine Kanonenkugel mit der Masse \( m_{\mathrm{k}}=5 \mathrm{~kg} \) abgeschossen. Die Kanonenkugel fliegt \( 1250 \mathrm{~m} \) weit. Der Wagen bewegt sich nach dem Schuss um \( s_{\mathrm{w}}=0,94 \mathrm{~m} \) in negative \( \mathrm{x} \)-Richtung. Der Reibkoeffizient zwischen Wagen und Untergrund beträgt \( \mu=0,23 \).

a) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Wagens \( u_{\mathrm{w}} \) direkt nach dem Abschuss?

b) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Kugel \( u_{\mathrm{k}, \mathrm{x}} \) in \( \mathrm{x} \)-Richtung direkt nach dem Abschuss! Wie lange befindet sich die Kugel in der Luft?

c) Wie groß sind die Geschwindigkeit der Kugel in y-Richtung und der Winkel \( \alpha \) ?

d) Zeichnen Sie das \( s(t) \) - und \( v(t) \)-Diagramm des Wagens!

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Antwort mit KI erzeugt:

a) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Wagens \( u_{\mathrm{w}} \) direkt nach dem Abschuss?

Um die Geschwindigkeit des Wagens \( u_{\mathrm{w}} \) direkt nach dem Abschuss zu bestimmen, verwenden wir den Impulserhaltungssatz. Da keine externen horizontalen Kräfte wirken (abgesehen von der Reibung, die hier zuerst vernachlässigt wird, da wir nach der unmittelbaren Geschwindigkeit nach dem Abschuss fragen), bleibt der Gesamtimpuls des Systems vor und nach dem Abschuss erhalten. Somit gilt für die Impulse vor und nach dem Abschuss:

\(m_{\mathrm{w}} \cdot u_{\mathrm{w}} + m_{\mathrm{k}} \cdot u_{\mathrm{k}, \mathrm{x}} = 0\)

Da aber \(u_{\mathrm{w}}\) das ist, was wir berechnen wollen, und wir \(u_{\mathrm{k}, \mathrm{x}}\) (die Geschwindigkeit der Kugel in \(x\)-Richtung) noch nicht kennen, scheint dies auf den ersten Blick nicht lösbar. Wir können jedoch die Reaktion des Wagens auf den Abschuss der Kanonenkugel betrachten, ohne die exakte Geschwindigkeit der Kugel zu kennen, um \(u_{\mathrm{w}}\) zu berechnen.

Stattdessen nutzen wir die Erhaltung des Impulses in der Form, die nur \(u_{\mathrm{w}}\) und bekannte Massen enthält, wobei wir annehmen, dass die Impulsänderung der Kugel gleich und entgegengesetzt zur Impulsänderung des Wagens ist:

\(m_{\mathrm{w}} \cdot u_{\mathrm{w}} = - m_{\mathrm{k}} \cdot u_{\mathrm{k}, \mathrm{x}}\)

Dies ist jedoch nicht direkt lösbar ohne die Geschwindigkeit der Kanonenkugel. Betrachten wir stattdessen die Bewegung des Wagens rückwärts. Die Reibung spielt eine Rolle, da sie die Bewegung des Wagens beeinflusst. Die Arbeit, die von der Reibungskraft verrichtet wird, entspricht der kinetischen Energie des Wagens direkt nach dem Abschuss. Die Reibungskraft wird bestimmt durch:

\(F_{\text{reib}} = \mu \cdot m_{\mathrm{w}} \cdot g\)

Wo \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\) die Erdbeschleunigung ist. Die Arbeit \(W\), die auf der Strecke \(s_{\mathrm{w}}\) verrichtet wird, und die die kinetische Energie \(E_{\text{kin,w}}\) aufzehrt, ist:

\(W = F_{\text{reib}} \cdot s_{\mathrm{w}}\)

\(W = \mu \cdot m_{\mathrm{w}} \cdot g \cdot s_{\mathrm{w}}\)

Setzt man dies gleich der kinetischen Energie des Wagens direkt nach dem Abschuss, erhält man:

\(E_{\text{kin,w}} = \frac{1}{2} m_{\mathrm{w}} \cdot u_{\mathrm{w}}^2 = \mu \cdot m_{\mathrm{w}} \cdot g \cdot s_{\mathrm{w}}\)

Daraus folgt für \(u_{\mathrm{w}}\):

\(u_{\mathrm{w}} = \sqrt{2 \cdot \mu \cdot g \cdot s_{\mathrm{w}}}\)

Einsetzen der gegebenen Werte:

\(u_{\mathrm{w}} = \sqrt{2 \cdot 0.23 \cdot 9.81 \cdot 0.94} \, \text{m/s} = \sqrt{4.263572} \, \text{m/s}\)

\(u_{\mathrm{w}} \approx 2.06 \, \text{m/s}\)

Also ist die Geschwindigkeit des Wagens direkt nach dem Abschuss ungefähr \(2.06 \, \text{m/s}\) in negative \(x\)-Richtung.
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