Ungleichmäßige Bewegung, wie wurde die Gleichung aufgestellt?

Question

Aufgabe:

Ein Wagen fährt auf einen mit Pufferfedern versehenen Prellbock auf. Die momentane Bremsverzögerung a ist der momentanen Stauchung x der Pufferfedern proportional: a = −βx mit β = 2·10^3 s^−2.
Um welchen Betrag x1 werden die Federn zusammengestaucht, wenn der Wagen mit einer Geschwindigkeit v_0 =16,2km/h auf den Prellbock auffährt?

Problem/Ansatz:

In den Lösungen ist dann von folgenden die Rede:

Als Beschleunigung bzw. Verzögerung erhält man mit der momentanen Stauchung x = x(t) und der momentanen Geschwindigkeit v = dx/dt.

$$\text{ Es gilt also } a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dx}v$$

Was ich hieran nicht verstehe ist, wie diese Gleichung aufgestellt wird bzw., woher diese Zusammenhänge kommen. Die Lösungen danach kann ich nachvollziehen.

Answer 1

\(a=\frac{dv}{dt}\) ist die Beschleunigung allgemein. Dann wird mit \(dx\) erweitert und umgestellt zu

\(v\cdot dv=a\cdot dx\)   und integriert

\(\int_{v_0}^v v\text{ }dv=\int_{x_0}^x a(x)\text{ }dx\)

kommst du damit weiter?

Comments

Hmm, bei der Erweiterung mit dx bin ich mir noch nicht ganz so sicher. Wäre es so denn richtig?

$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dt}\frac{dx}{dx}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dx}v$$

---

Ja, denn v = dx/dt . Aber wieso bist du dir nicht sicher? Siehst du da einen Unterschied zu dem, was du bereits vorher geschrieben hattest?

---

es ist a in Abhängigkeit von x gegeben, deswegen die Erweiterung mit \(dx\). Mathematisch kann man mit allem erweitern, es muss nur oben und unten das gleiche stehen. Hier kommt man nach der Umstellung zu einem Ausdruck \(=a\cdot\text{ dx}\). Und genau damit können wir weiterrechnen.

\(\int_{v_0}^vv\cdot\text{ dv}=\int_{x_0}^xa(x)\text{ dx}\)

\(\frac{1}{2}v^2-\frac{1}{2}v_0^2=\int_{x_0}^xa(x)\text{ dx}\)

\(\frac{1}{2}v^2-\frac{1}{2}v_0^2=\int_{x_0}^x-\beta x\text{ dx}\)

\(v=0\text{ }; v=4,5\frac{m}{s}\text{ };x_0=0 \)

\(\frac{1}{2}v_0^2=\frac{\beta}{2} x^2\)

---

Okay, ich verstehe. Mein Problem ist, zu erkennen, dass man hier erweitern muss und vor allem wie. So wie Du es aber erklärt hast, ergibt es jetzt Sinn.