Coulombkraft bei vier Ladungen

Question

Aufgabe:

Folgende Aufgabe b):

Text erkannt:

BEISPIEL 2.4.8: Vier Ladungen gleichen Betrags mit \( \pm q= \pm 3.6 \mathrm{nC} \) sind an den Ecken eines Quadrats der Seitenlänge \( l=7.5 \mathrm{~cm} \) angeordnet.
a) Konstruieren Sie die resultierende Kraft auf die Ladung in der oberen linken Ecke.
b) Berechnen Sie anschliessend den Betrag dieser Kraft.
\( \begin{aligned} F_{\text {res }} & =k_{c} \cdot \frac{9^{2}}{l^{2}} \cdot\left(\sqrt{2}-\frac{1}{2}\right) \\ & =\left(\sqrt{2}-\frac{1}{2}\right) \cdot 8.988 \cdot 10^{9 \mathrm{Nm}^{2} / \mathrm{c}^{2}} \cdot \frac{\left(3.6 \cdot 10^{-9} \mathrm{C}\right)^{2}}{(0.075 \mathrm{~m})^{2}} \\ & =19 \mu \mathrm{N} \end{aligned} \)
c) Wie gross sind die resultierenden Kräfte auf die anderen drei Ladungen?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wieso man noch sqrt(2)-1/2 rechnen muss. Ich weiss, dass sqrt(2) die Länge der Diagonale eines Quadrats ist, aber nicht, woher die 1/2 kommen und nicht wie ich mir sqrt(2)-1/2 bei dieser Aufgabe vorstellen soll. Ich habe die Vermutung, dass es um den Einheitsvektor geht, aber dieser hat ja den Betrag 1.

Answer 1

Die resultierende Kraft, die sich aus den 3 Kräften F₁, F₂ und F₃ ergibt, wirkt entlang der Diagonalen und hat den Betrag:

F_res = √(F₁² + F₂²) - F₃

F₁ = F₂ = k * q² / l²

F₃ = k * q² / (√2 * l)² = k * q² /( 2 * l²) = 1/2 * (k * q² / l²)

√2 * l ist die Länge der Diagonalen.

F_res = √ ((k * q² / l² )² + (k * q² / l² )²)  - 1/2 * (k * q² / l²)

F_res = √ (2 * (k * q² / l² )²)   - 1/2 * (k * q² / l²) = (k * q² / l²) * ( √2 - 1/2)

Comments

wieso tut man F3 nicht auch quadriert in die Klammer und nur F1 und F2 ?

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Weil F₃ bereits in diagonaler Richtung auf die Ladung wirkt, aber F₁ und F₂ horizontal bzw. vertikal. Und weil die Richtungen von F₃ und der Resultierenden aus F₁ und F₂ entgegengesetzt gerichtet sind, wird deren Differenz berechnet.

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Gibt es da eine konkrete Regel wann man die Kraft quadrieren und wurzeln muss? Gilt deine Begründung auch bei dem Vorzeichen von F3, also ein Minus?

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Hat Pythagoras zufälligerweise etwas mit der wurzelgeschichte zu tun?.

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Stehen die Kraftvektoren senkrecht aufeinander, wie es hier bei F₁ und F₂ der Fall ist, kannst du, um den Betrag der Resultierenden auszurechnen, den Satz des Pythagoras a² + b² = c²  → c = √(a² +b²) anwenden.

F₃ wirkt entgegengesetzt zu der Resultierenden aus F₁ und F₂, deshalb das Minus.

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alles klar, dann hat sich meine frage geklärt. Herzlichen Dank für deine Hilfe :)))

Answer 2

Wäre die Ladung unten rechts nicht da, dann wäre es Wurzel(2).

Die Ladung unten rechts ist weiter weg: 1/Wurzel(2), demnach ist die Kraft 1/2 (Quadratgesetz).