welcher Druck statische Druck, damit kein Wasser aus der Öffnung läuft

Question

Aufgabe:

Wasser wird mit einem Massenstrom dm/dt=3kg/s durch ein horizontal liegendes Rohr mit dem Querschnitt A1=5cm² , das sich auf einen Querschnitt A2 = 75cm2 erweitert. Das Wasser kann hier als ideale Flüssigkeit betrachtet werden

a) berechnen sie die Geschwindigkeit des Wassers an A1 als auch an A2.

b) welchen statischen Druck p1 darf eine Pumpe im engen Rohr höchstens erzeugen, damit aus einer seitlichen Bohrung am weiten Rohr bei einem Außendruck p0=1bar kein Wasser austritt?

Problem/Ansatz:

Die a) konnte ich mit der Kontinuitätsgleichung leicht berechnen. Bei der b) habe ich allerdings Schwierigkeiten. Ich dachte zu erst an die Bernoulli-Gleichung: ρ*v² * 0,5 + ρ*g*h+ P₀ = const.

Wenn ich die höhe des Wasserstands im weiten Rohr als Nullniveau benutze ergibt ist

ρ*v₁² * 0,5 + ρ*g*h+ P₀ = ρ*v₂² *0,5 + P₀

ρ*v₁² * 0,5 + ρ*g*h  = ρ*v₂² *0,5

P_1,statisch = ρ*g*h = ρ*0,5 (v₂² - v₁²)   

P0 konnte ich wegkürzen, da der Betriebsdruck der Druck außerhalb des Systems ist und somit unabhängig von der Stelle im Rohr, gleich sein muss. Gleichzeitig wundert es mich aber auch, dass meine Lösung unabhängig vom gegebenen Außendruck P₀=1bar ist.

Da ich keine Lösung zu dieser Übungsaufgabe habe, wollte ich fragen ob mir hier vielleicht jemand weiterhelfen kann? Macht meine Lösung Sinn oder wo könnte ein Fehler liegen?
Vielen Dank schon mal im voraus!

Answer 1

a) Die Massenkontinuitätsgleichung besagt, dass die Masse, die pro Zeiteinheit durch einen Querschnitt flieBt, erhalten bleibt. Somit gilt:
\( \frac{d m}{d t}=\rho A v=k o n s t a n t \)
wobei \( \rho \) die Dichte des Wassers, A die Querschnittsfläche des Rohrs und v die
Strömungsgeschwindigkeit des Wassers ist.
An A1 gilt:
\( \begin{array}{l} A_{1}=5 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} \\ \frac{d m}{d t}=3 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} \\ \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \text { (für Wasser bei Raumtemperatur) } \end{array} \)
Setzt man diese Werte ein, erhält man:
\( v_{1}=\frac{\frac{d m}{m}}{\rho A_{1}}=\frac{3 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}}{1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \cdot 5 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}}=6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \)
An A2 gilt:
\( \begin{array}{l} A_{2}=75 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} \\ v_{2}=\frac{\frac{A m}{\mathrm{~m}}}{\rho A_{2}}=\frac{\mathrm{s} \mathrm{kg} / \mathrm{s}}{1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \cdot 75-10^{-4} \mathrm{~m}^{2}}=0,04 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{array} \)

b) Um zu verhindern, dass Wasser aus der seitlichen Bohrung ausströmt, muss der Druck im engen Rohr gröBer sein als der Außendruck an der Bohrung. Der Druckunterschied ergibt sich aus der Bernoulli-Gleichung:
\( p_{1}+\frac{1}{2} \rho v_{1}^{2}=p_{0}+\frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} \)
Hierbei ist \( p_{1} \) der statische Druck im engen Rohr und \( p_{0} \) der AuBendruck. Da das Wasser als ideale Flüssigkeit betrachtet werden kann, kann man vernachlässigen, dass das Rohr horizontal liegt und dass es Reibungsverluste gibt.
Da keine Informationen über die Geschwindigkeit des Wassers an der Bohrung vorliegen, setzen wir v2=0 und p0=1bar = \( 10^{\wedge} 5 \) Pa ein:
\( p_{1}+\frac{1}{2} \rho v_{1}^{2}=10^{5} \mathrm{~Pa} \)
Um den maximalen statischen Druck \( p_{1} \) im engen Rohr zu finden, setzen wir v1=6 m/s ein:
\( \begin{array}{l} p_{1}+\frac{1}{2} \cdot 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \cdot(6 \mathrm{~m} / \mathrm{s})^{2}=10^{5} \mathrm{~Pa} \\ p_{1}=9,46 \cdot 10^{4} \mathrm{~Pa} \end{array} \)
Die Pumpe darf also höchstens einen statischen Druck von \( 9,46 \cdot 10^{4} \mathrm{~Pa} \) erzeugen, damit kein Wasser aus der seitlichen Bohrung austritt.